Arcos e cordas - Conceitos de desenho geométrico

As propriedades geométricas das figuras podem ser determinadas por meio das construções geométricas feitas com régua e compasso. Desde Euclides (300 a.C.), sabe-se que a geometria e o desenho geométrico se completam e se reforçam, exemplificando inúmeras e utilíssimas aplicações.

A geometria descreve e verifica as propriedades de entes que, no desenho, proporcionam a construção e a obtenção de lugares geométricos. Um lugar geométrico é o conjunto de pontos que apresentam uma determinada propriedade: se um certo ponto possui a propriedade X, então ele pertence ao lugar geométrico dos pontos que satisfazem X.

Alguns lugares geométricos são bem conhecidos:

• circunferência : lugar geométrico dos pontos de um plano que são eqüidistantes de um ponto dado chamado centro da circunferência - a distância constante é a medida do raio;
   
• mediatriz: lugar geométrico dos pontos do plano que são eqüidistantes dos extremos de um segmento;
  
  
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• r: reta mediatriz do segmento $$\overline{\text{AB}}$$ - conforme a definição, r deve passar pelo ponto médio de $$\overline{\text{AB}}$$ de modo perpendicular a ele (fig. 1): essas são as propriedades desse lugar geométrico;
• bissetriz interna de um ângulo: lugar geométrico dos pontos do plano que são eqüidistantes em relação aos lados do ângulo.
  
  Circunferências - arcos e cordas
  Duas cordas com um extremo comum determinam, em uma circunferência, um ângulo inscrito, e sua medida é a metade da medida do arco compreendido pelas cordas:

$$\widehat{\mathrm{ABC}}=\frac{\widehat{\mathrm{APB}}}{2}$$, teorema do ângulo inscrito.

$$\widehat{\mathrm{ABC}}$$ = ângulo inscrito.
$$\widehat{\mathrm{APB}}$$ = arco de extremos A e B que passa por P.

Arco capaz
Qualquer par de cordas com um extremo comum, que determine o mesmo arco na circunferência, determinará também o mesmo ângulo inscrito:

$$\widehat{\mathrm{ACB}}=\widehat{\mathrm{ADB}}=\frac{\widehat{\mathrm{APB}}}{2}$$

Uma característica interessante decorrente dessa situação é que qualquer ponto Q no arco $$\widehat{\mathrm{AQB}}$$ proporciona $$\widehat{\mathrm{AQB}}=\frac{\widehat{\mathrm{APB}}}{2}$$, ou seja, qualquer ponto Q sobre o arco $$\widehat{\mathrm{AQB}}$$ "enxerga" o segmento $$\overline{\text{AB}}$$ segundo um ângulo $$\widehat{\mathrm{AQB}}=\frac{\widehat{\mathrm{APB}}}{2}$$, então, $$\widehat{\mathrm{AQB}}$$é o arco capaz de $$\frac{\widehat{\mathrm{APB}}}{2}$$ em relação ao segmento $$\overline{\text{AB}}$$. Esse resultado é muito importante na determinação de ângulos entre retas secantes a circunferências, em problemas de tangência e concordância.

Pode-se definir arco capaz na seguinte situação: dado um segmento de reta $$\overline{\text{AB}}$$ e um ângulo $$\alpha$$, chamamos arco capaz de $$\alpha$$ em relação a $$\overline{\text{AB}}$$ ao lugar geométrico dos pontos sob os quais se vê o segmento AB segundo o ângulo $$\alpha$$.

Semelhança de triângulos e uma decorrência importante
Voltando-se aos dois pares de cordas na circunferência; vê-se que $$\overline{\mathrm{AB}}\text{e}\overline{\mathrm{CD}}$$ têm intersecção P.

Observe-se que, além de $$\widehat{\mathrm{ACD}}=A\widehat{B}D=\frac{\widehat{\mathrm{AMB}}}{2}$$ vale também $$A\widehat{P}D=B\widehat{P}D$$ (ângulos opostos pelo vértice). Tem-se, assim, dois triângulos (APC e BPD) com dois pares de ângulos correspondentes congruentes, o que garante que os triângulos são semelhantes. Desse modo, $$\frac{\mathrm{PA}}{\mathrm{PD}}=\frac{\mathrm{PC}}{\mathrm{PB}}$$ $$\to$$ PA . PB = PC . PD. O que esse resultado indica?
Observe que, fixando-se um ponto I no interior de uma circunferência, o produto PA . PB é constante, qualquer que seja a corda $$\overline{\text{AB}}$$ passando por P.
O produto PA . PB é denominado potência do ponto P em relação a essa circunferência, e vale para pontos internos ou externos a ela.

Triângulo retângulo

Retomando-se as condições do teorema do ângulo inscrito, o que acontece se as extremidades não comuns das cordas forem extremos de um diâmetro da circunferência?

Observe: C é um ponto qualquer da circunferência; A e B são extremos de um diâmetro.

$$\widehat{\mathrm{ACB}}=\frac{\widehat{\mathrm{AB}}}{2}$$, mas $$\widehat{\mathrm{AB}}$$ = 180^o; logo, $$\widehat{\mathrm{ABC}}$$ = 90^o.
Ou seja, o triângulo ABC é retângulo.

Veja as conclusões decorrentes desse resultado:

• a semicircunferência é o lugar geométrico dos pontos que vêem um diâmetro sob ângulo de 90^o (é o arco capaz de 90^o em relação ao diâmetro);
   
• um triângulo é inscritível em uma semicircunferência se e somente se é retângulo;
   
• se o triângulo é retângulo, seu circuncentro coincide com o ponto médio da hipotenusa (podendo-se provar o item seguinte);
   
• se o triângulo é acutângulo, o circuncentro é um ponto interno ao triângulo, e se é obtusângulo, o circuncentro é externo).
  
  Você pode demonstrar cada uma dessas proposições usando régua e compasso.