Enem - Cálculo de custos - Relação entre custo e volume
Neste artigo analisaremos a Questão 59 da prova amarela de matemática do Enem 2006. Trata-se de uma questão interessante: na confecção de dois moldes cilíndricos, que serão preenchidos com parafina, são usados cartões retangulares com a mesma medida, mas com posições trocadas (a altura de um passa a ser a largura do outro - e vice-versa).
O problema nos desafia a compararmos os custos das velas, de acordo com esses dois moldes, a partir da informação de que o custo é diretamente proporcional ao volume da parafina.
Dessa forma, torna-se necessário o cálculo do volume de cada cilindro formado pelo cartão, para que se possa efetuar a comparação dos volumes e, por consequência, também dos custos.
Vamos começar essa comparação pela altura de cada cilindro, que é obtida a partir da posição dos cartões. O tipo 1 tem uma altura de 10 cm, enquanto que o tipo 2 possui a medida de 20 cm. Como a solução será dada em função da comparação dos dois volumes, é interessante verificar quantas vezes uma altura é maior ou menor que a outra:
O próximo passo é o cálculo da área da base de cada cilindro. Nesse caso, por se tratar de um círculo, precisamos ter a medida do raio, informação que pode ser obtida verificando-se o comprimento de um dos lados do cartão, que é justamente o perímetro do círculo (P) - e que forma a base:
Poderíamos calcular o raio de cada molde, mas, para evitar perda de tempo, dividimos um perímetro pelo outro para saber quantas vezes o raio da base do cilindro 1 é maior do que o do cilindro 2:
Assim, com os resultados dessas comparações, podemos finalmente calcular quantas vezes o volume do molde 1 é maior ou menor que o volume do molde 2, lembrando sempre que as expressões para se calcular a área de um círculo e o volume de um cilindro são, respectivamente:
Agora, é só prestar atenção nas substituições:
O custo (C) da parafina, como foi informado pelo problema, pode ser interpretado como o preço da parafina por unidade de volume. Estabelecendo a razão entre os dois volumes, concluímos que volume 1 é o dobro do volume 2, tendo como consequência o mesmo resultado para a razão entre os custos.
Se a vela 1 ocupa um volume duas vezes maior do que a vela 2, então o custo será também duas vezes maior. Portanto, a resposta correta é a alternativa B.
Observações
Um aspecto interessante que precisa ser ressaltado é que, apesar de os dois cartões possuírem medidas e áreas iguais, produzem volumes diferentes. Trata-se de um fato que deve ser observado, em função da falsa impressão de que os volumes dos moldes pudessem ficar iguais, por algum tipo de compensação, ao invertermos a posição do cartão.
Realmente, na inversão do cartão de 1 para 2 temos um aumento na altura do cilindro, com a redução na área da base; no entanto, essa relação não garante a compensação para manter o volume constante.
Outro aspecto importante é imaginarmos a possibilidade de o custo da parafina ser diretamente proporcional à massa (e não em relação ao volume). O que mudaria? Teríamos de lembrar que a densidade (D) é definida, para qualquer corpo, como a razão da massa (m) pelo volume (V), descrita pela expressão D = m / V. Assim, se considerarmos Dp como a densidade da parafina, então podemos construir as relações necessárias:
Como vemos, a relação entre os custos se mantém, já que a densidade da parafina é a mesma para os dois tipos de molde. A proporção, portanto, não se altera. O custo do tipo 1 continua sendo o dobro do tipo 2.
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