Enem - Proporção: Utilizando frações em um cálculo prático

Antonio Rodrigues Neto, Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação

Neste texto, analisaremos a Questão 42 da prova amarela de matemática do Enem 2005. Devemos, para começar, prestar atenção à malha quadriculada que ilustra o problema: ela representa o pátio ao qual a questão se refere e mostra a regra seguida na distribuição das pastilhas pretas e brancas, utilizadas para revestir o pátio. Veja:


 

 

Seguindo as colunas ou as linhas do desenho, verificamos que a fração de pastilhas pretas é igual a 1/5 (ou 20%), enquanto que, em relação às brancas, temos 4/5 = 80%.

Fração das pastilhas pretas Linha 4 2 0 = 1 5 = 2 0 %
  Coluna 2 1 0 = 1 5 = 2 0 %
Fração das pastilhas brancas Linha 1 6 2 0 = 4 5 = 8 0 %
  Coluna 8 1 0 = 4 5 = 8 0 %

Essa regra na distribuição das pastilhas pretas e brancas permite projeções em relação ao tamanho do pátio, mas sem que se altere a proporção. Não importa se o pátio possui 200, 500 ou 1.000 metros quadrados: a proporção de distribuição das pastilhas será sempre de 20% para a cor preta e de 80% para a cor branca.

Dessa forma, a condição imposta pelo problema, a partir dessa proporção, permite que a área seja estrategicamente projetada para uma medida com apenas um metro quadrado, que é exatamente a unidade utilizada para informar o preço de cada pastilha e o custo de todo o revestimento. Essa será, portanto, a nossa base de cálculo.

Assim, em cada metro quadrado do pátio, consideraremos os 20% e os 80% ocupados pelas pastilhas:

Pastilha Preta 2 0 % de 1 m 2 0 , 2 × 1 m 2 = 0 , 2 m 2
Patilha branca 8 0 % de 1 m 2 0 , 8 × 1 m 2 = 0 , 8 m 2

Com a informação de que o preço da pastilha preta é de R$ 10,00 por metro quadrado, enquanto que a branca custa R$ 8,00, calculamos o custo de cada uma nessa unidade de área:

Pastilha Preta R$ 1 0 , 0 0 1 m 2 × 0 , 2 m 2 = R$ 2 , 0 0
Patilha Branca R$ 8 , 0 0 1 m 2 × 0 , 8 m 2 = R$ 6 , 4 0

A soma de R$ 2,00 com R$ 6,40 conduz a um total de R$ 8,40 - que será o preço do revestimento por metro quadrado, o que define a alternativa B como a correta.
 

Outras aplicações

A proporção está presente em várias áreas do conhecimento, principalmente em Física, Química e Biologia. Assim, vamos pensar em outros problemas.

Imagine se, em vez de revestirmos um pátio com dois tipos de pastilhas, a questão tratasse de um químico que gasta quarenta litros de combustível (composto por 20% de álcool e 80% de gasolina), com o objetivo de testar o rendimento de um motor. Sabendo que o preço do litro da gasolina custa R$ 2,49 e do álcool R$ 1,79, qual será o custo da mistura por litro?

O problema é praticamente igual ao da prova: as pastilhas pretas estão, agora, disfarçadas de gasolina, enquanto que as brancas, de álcool. No entanto, apesar da sua resolução ser mais fácil, porque informa diretamente a porcentagem da mistura, é importante lembrar que o dado sobre os quarenta litros de combustível é desnecessário para a resolução, e pode atrapalhar se o estudante não souber bem a que se refere a proporção.

Assim, para essa resolução, mantemos o mesmo procedimento de escolhermos uma base de cálculo - que, no caso, será de 1 litro:

gasolina { 8 0 % de 1 litro = 0 , 8 × 1 litro = 0 , 8 litro R$ 1 , 7 9 1 litro × 0 , 8 litro = R$ 1 , 4 3 2
álcool { 2 0 % de 1 litro = 0 , 2 × 1 litro = 0 , 2 litro R$ 2 , 4 9 1 litro × 0 , 2 litro = R$ 0 , 4 9 8
1 litro da mistura R$ 1 , 4 3 2 + R$ 0 , 4 9 8 = R$ 1 , 9 3

Agora, se neste problema, além do que foi pedido, também se perguntasse quanto se gastou na experiência em relação à queima do combustível, nesse caso, sim, o volume total de combustível seria fundamental para a resolução - e teríamos que multiplicar R$ 1,93/litro pelos quarenta litros:

R$ 1 , 9 3 1 litro × 4 0 litros = R$ 7 7 , 2 0

Há inúmeros problemas com esse mesmo tipo de estrutura matemática, e é importante exercitá-los ampliando a quantidade de elementos.

Que tal, por exemplo, pensar em um revestimento com quatro tipos de pastilha? E uma mistura com 70% de gasolina, 10% de álcool e 20% de aditivo? Pesquise os preços e construa você mesmo esse tipo de problema.

Veja errata.

Antonio Rodrigues Neto, Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação professor de matemática no ensino fundamental e superior, é mestre em educação pela USP e autor do livro "Geometria e Estética: experiências com o jogo de xadrez" pela Editora da UNESP.

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