Equações exponenciais (1) - Exemplos de como resolver

Carlos Alberto Campagner, Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação

Não existe uma fórmula básica para resolver as equações exponenciais (aquelas em que a incógnita está no expoente da potência .

Veja o exemplo abaixo:

$2 \cdot 5^{x} - 5 \cdot 2^{x} = 0$

2 \cdot 5^{x} - 5 \cdot 2^{x} = 0

Passa-se o termo negativo para o outro lado do sinal de igual, temos:

$2 \cdot 5^{x} = 5 \cdot 2^{x}$

2 \cdot 5^{x} = 5 \cdot 2^{x}

Agora a ideia é colocar o mais próximo possível os números de mesma base. Se dividirmos por 2 e por 5, teremos:

$\frac{5^{x}}{5} = \frac{2^{x}}{2}$

\frac{5^{x}}{5} = \frac{2^{x}}{2}

Mas note que

$\frac{1}{5} = 5^{- 1}$

\frac{1}{5} = 5^{- 1}

e que

$\frac{1}{2} = 2^{- 1}$

\frac{1}{2} = 2^{- 1}

, logo:

$5^{x} \cdot 5^{- 1} = 2^{x} \cdot 2^{- 1}$

5^{x} \cdot 5^{- 1} = 2^{x} \cdot 2^{- 1}

$5^{x - 1} = 2^{x - 1}$

5^{x - 1} = 2^{x - 1}

Parece um beco sem saída, mas qual é o número que diminuído de 1 e expoente da base 5 é igual a ele mesmo expoente da base 2.

Somente se $x - 1 = 0$

Somente se o expoente for zero a igualdade será verdadeira, logo:

$x = 1$

x = 1

Exerício resolvido

Veja este outro exemplo, extraído do vestibular do ITA (SP):

$3 \cdot 5^{x^{2}} + 3^{x^{2} + 1} - 8 \cdot 3^{x^{2}} = 0$

3 \cdot 5^{x^{2}} + 3^{x^{2} + 1} - 8 \cdot 3^{x^{2}} = 0

Primeiro dividir por 3:

$\frac{3 \cdot 5^{x^{2}}}{3} + \frac{3^{x^{2} + 1}}{3} - \frac{8 \cdot 3^{x^{2}}}{3} = 0$

\frac{3 \cdot 5^{x^{2}}}{3} + \frac{3^{x^{2} + 1}}{3} - \frac{8 \cdot 3^{x^{2}}}{3} = 0

$5^{x^{2}} + 3^{x^{2} + 1 - 1} - \frac{8 • 3^{x^{2}}}{3} = 0$

5^{x^{2}} + 3^{x^{2} + 1 - 1} - \frac{8 • 3^{x^{2}}}{3} = 0

$5^{x^{2}} + 3^{x^{2}} - \frac{8 \cdot 3^{x^{2}}}{3} = 0$

5^{x^{2}} + 3^{x^{2}} - \frac{8 \cdot 3^{x^{2}}}{3} = 0

Ainda há muitos fatores, portanto, vamos tentar isolar as bases 3 e 5:

Colocando-se o $3^{x^{2}}$ em evidência:

$5^{x^{2}} + 3^{x^{2}} (1 - \frac{8}{3}) = 0$

5^{x^{2}} + 3^{x^{2}} (1 - \frac{8}{3}) = 0

$5^{x^{2}} + 3^{x^{2}} (- \frac{5}{3}) = 0$

5^{x^{2}} + 3^{x^{2}} (- \frac{5}{3}) = 0

$5^{x^{2}} - 3^{x^{2}} (\frac{5}{3}) = 0$

5^{x^{2}} - 3^{x^{2}} (\frac{5}{3}) = 0

$5^{x^{2}} = 3^{x^{2}} (\frac{5}{3})$

5^{x^{2}} = 3^{x^{2}} (\frac{5}{3})

$\frac{5^{x^{2}}}{5} = \frac{3^{x^{2}}}{3}$

\frac{5^{x^{2}}}{5} = \frac{3^{x^{2}}}{3}

$5^{x^{2} - 1} = 3^{x^{2} - 1}$

5^{x^{2} - 1} = 3^{x^{2} - 1}

Como no exemplo anterior:

$x^{2} - 1 = 0 ∴ \{- 1, 1\}$

x^{2} - 1 = 0 ∴ \{- 1, 1\}

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