Equações exponenciais (2) - Formas de resolução

Veja as equações, no universo dos reais:

1) $$3x-6=0$$
Essa equação (de 1^o grau) fica resolvida quando "isolamos" a incógnita x. Assim:

2)

Já essa equação (de 2^o grau) é resolvida, entre outras formas, pela fórmula resolutiva de equação do 2^o grau, ou fórmula de Bhaskara:

3)$$3^x=81$$
Nesse caso, não é possível nem isolar a incógnita - pois x é o expoente -, nem utilizar uma fórmula resolutiva.

A ideia aqui é: o 3 deve ser elevado a qual expoente para resultar em 81?

A resposta é 4. Ou porque sabemos que $$3^4=81$$ , ou porque, fatorando 81, obtemos $${81=3}^4$$
Mas nem sempre é possível pensar assim e obter o valor da incógnita de imediato. Tente desenvolver o mesmo raciocínio na equação $$3^{2x}-12\text{.}{3}^x=27$$
Equações que apresentam a incógnita no expoente são chamadas de equações exponenciais.

De forma prática, existem duas tentativas possíveis de resolução:

1^a) Escrever os dois membros da equação na mesma base, usando fatoração ou propriedades das potências, dependendo do caso:

a)

Como se trata de uma igualdade e as bases são iguais nos dois membros (3), podemos trabalhar apenas com os expoentes:

b)

Aqui devemos nos lembrar de algumas das propriedades das potências:

Assim:

2^a) Usar substituição
a) $$3^{2x}-12\text{.}{3}^x=27$$ Nesse caso, percebemos não ser possível escrever os dois membros da igualdade na base que está elevada a x (base 3), pois 12 não pode ser fatorado só na base 3 e, além disso, não existe uma propriedade das potências que reduza a subtração de potências de mesma base a uma só potência

Observe, então, a estratégia:
Utilizaremos outra propriedade das potências

Agora substituiremos por uma variável qualquer (y, por exemplo):

E teremos apenas que resolver uma equação do 2^o grau!

Mas ainda devemos voltar à substituição

, pois o objetivo era determinar a incógnita x:

para $$y_1=3$$,

e para $$y_2=9$$ ,

b) (UFRGS - adaptada) $$y_2=9$$

Vamos usar a propriedade $$a^{\mathit{\text{m}}}\text{.}{a}^n=a^{\mathit{\text{m}}+n}$$ , só que "ao contrário", ou seja: $$a^{\mathit{\text{m}}+n}=a^{\mathit{\text{m}}}\text{.}{a}^n\text{,}\text{com}a\text{,}\mathit{\text{m}}\text{,}n\in \mathit{\text{Q}}$$

Agora a substituição

:

Note que também foi usada outra propriedade das potências: $$a^{-\mathit{\text{m}}}=\frac{1}{a^{\mathit{\text{m}}}}\text{com}a\text{,}\mathit{\text{m}}\in \mathit{\text{Q}}$$ . E agora é só resolver a equação de 1^o grau!

Como $$4^x=y$$ , temos: