Equações polinomiais: Raízes múltiplas, raízes racionais, reais e complexas

Carlos Alberto Campagner, Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação

Equações polinomiais

Tomando-se o seguinte polinômio P x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 onde a n , a n - 1 , , a 1 , a 0 são constantes n e é definido como o grau do polinômio.

Por exemplo: P x = x 4 + 7 x 3 + 6 x 2 - 7 x + 8 = 0

Define-se como raiz α se e somente se P a = 0 .

Obs.: Note que ao se igualar um polinômio a zero P x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + + a 2 x 2 + a 1 x + a 0=0 =0 ele se transforma em uma equação polinomial.

Também se pode decompor o polinômio P x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 em n fatores de primeiro grau:

P x = a n x - a 1 x - a 2 x - a 3 x - a n onde a 1 , a 2 , , a n são raízes da equação polinomial.

a. Raízes múltiplas

Pode ocorrer que uma ou mais raízes sejam iguais, nesse caso essas raízes são definidas como múltiplas, por exemplo:

P x = 4 x - 1 x - 1 x - 2 x - 2 x - 2 x - 8

Note a multiplicidade da raiz 1 (2 vezes) e da raiz 2 (3 vezes). Denomina-se que a equação polinomial P x possui a raiz 1 com multiplicidade 2, a raiz 2 de multiplicidade 3 e a raiz 8 de multiplicidade 1.

b. Raízes complexas e reais

"Toda equação polinomial, de grau n, com n ≥ 1 possui pelo menos 1 raiz complexa (real ou imaginário)".

Obs.: Lembrar que os números complexos englobam os números reais, ou seja, um número real é também um número complexo.

"Toda equação polinomial que possua uma raiz imaginária possuirá também o conjugado dessa raiz como raiz".

Ou seja, se z = a + b i é raiz de uma equação polinomial z = a - b i também será raiz. Sendo a , b ? e i 2 = - 1 .

Exemplo: Sabendo-se que a equação polinomial x 3 - 2 x 2 + x - 2 = 0 possui uma raiz imaginária igual a i, com i 2 = - 1 encontrar as outras raízes.

Se i é uma raiz então -i, seu conjugado, é outra e consegue-se encontrar a terceira raiz que é 2.

c. Raízes racionais

"Se um número racional p q , com p e q primos entre si, é raiz de uma equação polinomial de coeficientes inteiros do tipo P x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 então p é divisor de a 0 e q é divisor de a n ".

Exemplo:

P x = 2 x 3 - x 2 + 2 x - 1 , pesquisar as possíveis raízes racionais.

a n = a 3 = 2 a 0 = - 1

As possíveis raízes serão:

{ 1 , 1 2 , - 1 , - 2 }

Testando para o polinômio P x verifica-se que somente P 1 2 = 0 , sendo essa e a raiz racional do polinômio.

Note que os coeficientes da equação polinomial obrigatoriamente devem ser números inteiros.

Carlos Alberto Campagner, Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação é engenheiro mecânico, com mestrado em mecânica, professor de pós-graduação e consultor de informática.

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