Inequações do segundo grau: Exemplos de resolução

Michele Viana Debus de França, Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação

Para resolver inequações do segundo grau, precisamos, antes, recordar que as inequações de primeiro grau são resolvidas seguindo-se o mesmo procedimento utilizado na resolução das equações de primeiro grau e observando-se, claro, as propriedades das desigualdades e o significado da solução.

Assim, resolvendo - 3 x - 7 > 0 , temos:

- 3 x - 7 > 0 - 3 x > 7 x < - 7 3
S = x R | x < - 7 3

É possível, para resolver inequações do segundo grau, proceder como em equações do segundo grau?

Vejamos o exemplo x 2 - 3 x - 4 > 0 .
A resolução de equações do segundo grau se dá, entre outras formas, pela fórmula de Bhaskara:

x 2 - 3 x - 4 > 0 Δ = b 2 - 4 . a . c Δ = - 3 2 - 4 . 1 . - 4 = 9 + 1 6 = 2 5 x = - b ± Δ 2 . a x = - - 3 ± 2 5 2 . 1 = 3 ± 5 2 x 1 = 3 - 5 2 = - 2 2 = - 1 x 2 = 3 + 5 2 = 8 2 = 4

E agora? Qual seria o significado dos valores encontrados para o conjunto solução? Se a inequação é x 2 - 3 x - 4 > 0 , deveríamos escrever a solução como x > 4 ou x > - 1 ? Que significado isso teria?

Na verdade, resolver a inequação x 2 - 3 x - 4 > 0 é saber para quais valores de x a expressão x 2 - 3 x - 4 é positiva.

Graficamente, essa expressão, em função de x, é uma parábola, uma função do segundo grau. Se estudarmos o sinal da função do segundo grau, descobriremos para quais valores de x essa expressão é positiva.

Seu gráfico é:

 

 

 

 

 

 

 

Estudando o sinal da função, temos:

 

 

 

 

 

 

 

Logo, os valores de x que fazem com que a expressão seja positiva são x < - 1 ou x > 4 . E o conjunto solução da inequação é S = x R | x < - 1  ou  x > 4 .
Exemplos:

1) - x 2 + 5 x - 6 0

Achando as raízes da função, temos

x 1 = 2 x 2 = 3

E o estudo do sinal (a função é côncava para baixo, pois a < 0):


 

 

 

 

 

A solução é S = x R | 2 x 3 .

2) - x 2 + 4 x - 4 0

As raízes da função são

x 1 = 2 = x 2

A função é côncava para baixo, pois a < 0. E o estudo do sinal fica assim:



 

 

 

 

 

 

A função é toda negativa, exceto no ponto x = 2, onde ela é nula.

Como, no exemplo, queremos saber onde a função é positiva ou nula 0 , o único ponto que faz parte da solução é x = 2.

A solução é S = 2 .

3) - x 2 + 2 x - 4 > 0

A função não possui raízes reais. Logo, ela não intercepta o eixo das abscissas. A concavidade é para baixo, pois a < 0.


 

 

 

 

 

 

 

Como queremos saber onde a função é positiva, o conjunto solução da função é vazio. Logo, S = Ø.

Michele Viana Debus de França, Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação é licenciada em matemática pela USP e mestre em educação matemática pela PUC-SP.



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