Inequações modulares: Estratégias de resolução

Michele Viana Debus de França, Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação

A inequação modular é uma desigualdade em que a incógnita "aparece dentro do módulo".

Vamos lembrar a função modular mais simples, que é f x = | x | e seu gráfico:

  •  


 

 

 

 

 

 

 

Ele vai ser útil para entendermos o processo de resolução das inequações modulares.

Vejamos um exemplo simples e seu significado, para entendermos a estratégia típica de resolução desse tipo de inequação.

Exemplo: | x | > 2
Se considerarmos

f x = | x |

e

g x = 2

, podemos olhar a desigualdade da seguinte forma: f x > g x . Traçando as curvas das duas funções no mesmo sistema cartesiano, analisaremos graficamente a situação:


 

 

 

 

 

 

 

 

Os pontos de intersecção das funções (pontos de encontro) são os valores de x tais que
| x | = 2 . Logo, são x = -2 e x = 2.

Analisando os gráficos das funções, percebemos que:



  •  f x > g x até x = -2 e após x = 2;
     
  • f x < g x entre -2 e 2.

     

 

 

 

 

 

 

 

Assim, a solução da inequação | x | > 2 é S = { x R | x < - 2  ou  x > 2 } .

Se quiséssemos resolver a inequação | x | < 2 , de acordo com o gráfico, a solução seria S = { x R | - 2 < x < 2 } .

De acordo com a análise feita, podemos dizer que
 

  • inequações da forma | x | > a têm solução da forma x < -a ou x > a (maior vira ou);

inequações da forma | x | < a têm solução da forma -a < x < a (menor fica entre).

Exemplo 1

| x + 2 | > 5

Aplicando a "regrinha", maior vira ou:

x + 2 > 5 x > 3 ou x + 2 < - 5 x < - 7 S = { x R | x < - 7  ou  x > 3 }

Exemplo 2

| x + 1 | 4

Agora, menor fica entre:

- 4 x + 1 4 - 4 - 1 x 4 - 1 - 5 x 3 S = { x R | - 5 x 3 }

Exemplo 3

1 < | 2 x - 3 | < 4

Nesse caso, devemos procurar os valores de x que satisfaçam a duas desigualdades:

| 2 x - 3 | > 1

e

| 2 x - 3 | < 4

Assim, precisamos resolvê-las e, para descobrir os valores de x, verificando as duas ao mesmo tempo, faremos a intersecção das soluções:




 

 

 

 

 

 

S 1 S 2 :









Michele Viana Debus de França, Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação é licenciada em matemática pela USP e mestre em educação matemática pela PUC-SP.



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