Logaritmo: Exercício resolvido

Carlos Alberto Campagner, Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação

Para resolver cálculos com logaritmos,a estratégia deve ser pensada antes da resolução, por mais banal que possa parecer o problema.

Veja o seguinte exercício resolvido:

"Se log 2 = a e log 3 = b, determine o valor de log 5 em função de a e b."

Para realisá-lo, você precisa conhecer as propriedades dos logaritmos. Você sabe que 2 + 3 = 5. Você não pode, no entanto, afirmar que log 2 + log 3 = log 5.

Para deixar seu cálculo mais claro, reescreva o problema evidenciando a base do logaritmo - que, quando não está escrita, vale 10. Fica assim:

Veja que foram apresentadas a base dos logaritmos. Reescrevendo a questão, portanto, ela ficaria:

log102 = a, log103 = b, log105 = ?, em função de a e b.

Tente, agora, encontrar alguma relação entre 5 e os outros números em questão (10, 5 e 2). Você pode ter, por exemplo:

log 1 0 5 = log 1 0 1 0 2

Como o logaritmo do quociente é igual a diferença dos logaritmos (uma das propriedades dos logaritmos), você pode ter:

log 1 0 5 = log 1 0 1 0 2 = log 1 0 1 0 - log 1 0 2

Como log1010 = 1:

log5 = 1 - a

Seu exercício está resolvido!

Exercício resolvido, utilizando mudança de base

Retome a fórmula de mudança de base:

log b a = log c a log c b IV

Simplifique:

log25 . log72

A primeira vista parece uma grande confusão, mas nota-se que existe uma base 2 e um log de 2. Logo, deve-se mudar para a base 2.

Nota: No caso de dúvida entre várias bases que sejam múltiplos (ex: 3, 9, 81, ...), em princípio, escolhe-se a menor.

Resolvendo com a mudança de base para 2:

log 2 5 . log 7 2 = log 2 5 . log 2 2 log 2 7 = log 2 5 . 1 log 2 7 = log 2 5 log 2 7

Note que como os dois logaritmos possuem base 2, pode se usar a fórmula de mudança de base ao inverso, logo:

log 2 5 log 2 7 = log 7 5

No geral, vale a recomendação de sempre pensar e analisar os problemas por alguns instantes e determinar a melhor estratégia de resolução.

Exercício resolvido de logaritmo, com a propriedade de logaritmo da potência

log 3 1 + log 1 0 0 , 0 1 log 2 1 6 4 . log 4 8

À primeira vista, um problema complexo, com muitas bases diferentes, mas, ao ser analisado parte por parte:

Como se pode notar, ao se analisar um problema como um todo e, em seguida, parte por parte, pode-se chegar a resoluções facílíssimas. 
 

  • log 3 1 = 0
    pois, somente um número elevado a zero resulta em 1;
     
  • log 1 0 0 , 0 1 = - 2
    também um log que a base ajuda bastante;
     
  • log 2 1 6 4 . log 4 8
    é um pouco mais interessante, mas, nada de amedrontar, pois as bases se "aparentam" entre si, logo:

    Utilize a propriedade do logaritmo de potência:
    log a b n = n . log a b I
    log 2 1 6 4 = log 2 6 4 - 1 = - 1 . log 2 6 4 = - 1 . 6 = - 6
    Finalmente:
    log 4 8 = log 4 8 1 2 = 1 2 . log 4 8
    Fórmula de mudança de base:
    log b a = log c a log c b
    Mudando para a base 2:
    1 2 . log 4 8 = 1 2 . log 2 8 log 2 4 = 1 2 . 3 2 = 3 4
    Retornando à equação original com os resultados:
    log 3 1 + log 1 0 0 , 0 1 log 2 1 6 4 . log 4 8 = 0 - 2 - 6 . 3 4 = - 2 - 6 . 3 4 = - 2 - 1 8 4 = 2 . 4 1 8 = 8 1 8 = 4 9

Carlos Alberto Campagner, Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação é engenheiro mecânico, com mestrado em mecânica, professor de pós-graduação e consultor de informática.

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