Matriz (1) - Definição e classificação

Carlos Alberto Campagner, Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação

Veja a tabela abaixo com as notas de um aluno qualquer, em cinco disciplinas, durante o ano de 2005:

	Português	Matemática	Inglês	Geografia	História
1o bimestre	6,0	3,5	5,0	7,0	5,5
2o bimestre	4,0	4,5	5,0	8,0	5,0
3o bimestre	4,5	5,5	5,0	5,0	5,0
4o bimestre	3,0	6,5	6,0	5,5	7,5

Nada mal, embora ele precise melhorar em matemática e português. Nosso negócio aqui, porém, é matemática, então repare que cada número tem o seu lugar nesta tabela.

Se a parte numérica for destacada, a tabela ficará assim:

6,0	3,5	5,0	7,0	5,5
4,0	4,5	5,0	8,0	5,0
4,5	5,5	5,0	5,0	5,0
3,0	6,5	6,0	5,5	7,5

A tabela acima é uma matriz.

Colocando em notação matemática:

$A = (\begin{matrix} 6, 33, 55, 07, 05, 5 \\ 4, 04, 55, 08, 05, 0 \\ 4, 55, 55, 05, 05, 0 \\ 3, 06, 56, 05, 57, 5 \end{matrix})$

A = (\begin{matrix} 6, 33, 55, 07, 05, 5 \\ 4, 04, 55, 08, 05, 0 \\ 4, 55, 55, 05, 05, 0 \\ 3, 06, 56, 05, 57, 5 \end{matrix})

Esta matriz é do tipo 4x5, pois tem 4 linhas por 5 colunas.

Representando a matriz B, do tipo 2x3 com elementos genéricos, teremos:

$Β = (\begin{matrix} a_{11} a_{12} a_{13} \\ a_{21} a_{22} a_{23} \end{matrix})$

Β = (\begin{matrix} a_{11} a_{12} a_{13} \\ a_{21} a_{22} a_{23} \end{matrix})

Ou numa representação simplificada:

$Β = (a_{ij})_{2 x 3}$

Β = (a_{ij})_{2 x 3}

Onde i é o número da linha e j o número da coluna.

Matriz nula

Matriz nula é aquela em que todos os elementos são iguais a zero:

$(\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix})$

(\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix})

$(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})$

(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

$(\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix})$

(\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix})

Matriz oposta

É aquela em que os elementos correspondentes (elementos de mesma posição) são números opostos, se A é a matriz sua oposta tem a notação -A:

$Α = (\begin{matrix} 0 & - 1 & 2 \\ 5 & 4 & - 2 \\ 8 & 7 & 9 \end{matrix})$

Α = (\begin{matrix} 0 & - 1 & 2 \\ 5 & 4 & - 2 \\ 8 & 7 & 9 \end{matrix})

então

$- Α = (\begin{matrix} 0 & 1 & - 2 \\ - 5 & - 4 & 2 \\ - 8 & - 7 & - 9 \end{matrix})$

- Α = (\begin{matrix} 0 & 1 & - 2 \\ - 5 & - 4 & 2 \\ - 8 & - 7 & - 9 \end{matrix})

Matriz transposta

É aquela em que as linhas de A viram colunas sendo a notação A^t:

$Α = (\begin{matrix} 0 & 5 \\ 2 & 18 \\ 3 & 7 \end{matrix})$

Α = (\begin{matrix} 0 & 5 \\ 2 & 18 \\ 3 & 7 \end{matrix})

então

$Α = (\begin{matrix} 0 & 2 & 3 \\ 5 & 18 & 7 \end{matrix})$

Α = (\begin{matrix} 0 & 2 & 3 \\ 5 & 18 & 7 \end{matrix})

Por isso, se A é do tipo 3x2 a transposta A^t é do tipo 2x3.

Matriz quadrada

É aquela que possui o mesmo número de linhas e colunas:

Pode ser 2x2, ou 3x3, ou 4x4, exemplo:

$Α = (\begin{matrix} 0 & 18 & - 22 \\ - 5 & 45 & 25 \\ - 8 & - 7 & - 9 \end{matrix})$

Α = (\begin{matrix} 0 & 18 & - 22 \\ - 5 & 45 & 25 \\ - 8 & - 7 & - 9 \end{matrix})

Matriz diagonal

É uma matriz quadrada em que os elementos da diagonal principal (aqueles de mesmo índice i e j) são diferentes de zero e todos os outros elementos são iguais à zero:

$Α = (\begin{matrix} 45 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & - 9 \end{matrix})$

Α = (\begin{matrix} 45 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & - 9 \end{matrix})

onde

$a_{11} = 45$

a_{11} = 45

$a_{22} = 4$

a_{22} = 4

$a_{33} = - 9$

a_{33} = - 9

6,0	3,5	5,0	7,0	5,5
4,0	4,5	5,0	8,0	5,0
4,5	5,5	5,0	5,0	5,0
3,0	6,5	6,0	5,5	7,5

6,0	3,5	5,0	7,0	5,5
4,0	4,5	5,0	8,0	5,0
4,5	5,5	5,0	5,0	5,0
3,0	6,5	6,0	5,5	7,5

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6,0	3,5	5,0	7,0	5,5
4,0	4,5	5,0	8,0	5,0
4,5	5,5	5,0	5,0	5,0
3,0	6,5	6,0	5,5	7,5