Média, desvio padrão e variância: Noções de estatística

Carlos Alberto Campagner, Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação
(Atualizado em 13/01/2014, às 12h41)

Quanto foi a sua média de matemática no último bimestre? Um dos conceitos mais básicos e cotidianos da estatística, a média nada mais é que um valor que "representa" vários outros. Com os exemplos a seguir, você vai ver que é fácil.

Imagine que, no bimestre, João fez cinco atividades que valiam nota nas aulas de matemática. Ele começou bem, mas terminou o bimestre mal. Tirou as seguintes notas: 9, 7, 5, 3, 2.

Qual será a sua média no fim do bimestre?

Para facilitar os cálculos, vamos adotar o seguinte padrão: S é a soma das notas, e n é o número de notas que ele teve.

A média (M) será:

M = S n = 9 + 7 + 5 + 3 + 2 5 = 5 , 2

Note que a sua média não é igual a nenhuma das notas que ele tirou. É um número que mostra, mais ou menos, como João foi no bimestre.

Medidas de dispersão

Muitas vezes, a média não é suficiente para avaliar um conjunto de dados. Por exemplo, quando se fala em um grupo de mulheres com idade média de 18 anos. Esse dado, sozinho, não significa muito: pode ser que no grupo, muitas mulheres tenham 38 anos, e outras tantas sejam menininhas de dois!

É importante, então, conhecer outra medida, a de que diferença (dispersão) existe entre a média e os valores do conjunto.

Voltando ao exemplo das notas de João, podemos calcular o desvio, que é a diferença de cada nota em relação à média:

Notas Média Desvio
9 5,2 3,8
7 5,2 1,8
5 5,2 - 0,2
3 5,2 - 2,2
2 5,2 - 3,2

Outro dado importante em estatística é obtido pela soma dos desvios ao quadrado. Cada desvio é elevado ao quadrado e, em seguida, somados:

Valores Média Desvio Quadrado dos desvios
9 5,2 3,8 14,44
7 5,2 1,8 3,24
5 5,2 - 0,2 0,04
3 5,2 - 2,2 4,84
2 5,2 - 3,2 10,24
Soma dos quadrados dos desvios     32,8

A soma dos quadrados dos desvios dividida pelo número de ocorrências é chamada de variância.

Logo:

V = 3 2 , 5 5 = 6 , 5 6

Outro valor que pode ser obtido a partir da média e da variância é o desvio padrão. Como os desvios foram elevados ao quadrado, deve-se tirar a raiz quadrada da variância e achar o desvio padrão:

D p = 6 , 5 6 = 2 , 5 6

Só para se ter uma ideia melhor do que significa o desvio padrão veja o seguinte exemplo:

Notas: (9, 9, 9, 1, 1, 1)

A média será:

M = S n = 9 + 9 + 9 + 1 + 1 + 1 6 = 5

E o desvio padrão será Dp = 4 (tente calculá-lo por conta própria).

Note que, apesar de esse aluno ter tido média 5, seu desempenho foi muito irregular (variou de 4 pontos! 5+4 =9 e 5-4 = 1), o que não é tão bom assim.

No exemplo anterior pode-se interpretar que as notas, no geral, variaram entre (5,2 + 2,56) = 7,76 e (5,2 - 2,56) = 2,64 , ou seja, Joãozinho teve desempenho mais regular que esse outro aluno.

Nota: As fórmulas utilizadas pressupõem os dados como população, sendo portanto:

σ = 1 N Σ i = 1 N x - x ¯ 2 desvio padrão com base na população

No caso de amostras, seria:

σ = 1 n - 1 Σ i = 1 N x - x ¯ 2 desvio padrão a partir de uma amostra, também chamado de desvio padrão amostral

 

Carlos Alberto Campagner, Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação é engenheiro mecânico, com mestrado em mecânica, professor de pós-graduação e consultor de informática.

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