Números complexos (6) - Operações na forma algébrica

Carlos Alberto Campagner, Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação

1. Adição

$\begin{matrix} z_{1} = a + b i \\ z_{2} = c + d i \\ z_{1} + z_{2} = a + b i + c + d i = (a + c) + (b + d) i \end{matrix}$

\begin{matrix} z_{1} = a + b i \\ z_{2} = c + d i \\ z_{1} + z_{2} = a + b i + c + d i = (a + c) + (b + d) i \end{matrix}

2. Subtração

$\begin{matrix} z_{1} = a + b i \\ z_{2} = c + d i \\ z_{1} - z_{2} = (a + b i) - (c + d i) = (a - c) + (b - d) i \end{matrix}$

\begin{matrix} z_{1} = a + b i \\ z_{2} = c + d i \\ z_{1} - z_{2} = (a + b i) - (c + d i) = (a - c) + (b - d) i \end{matrix}

3. Multiplicação

$\begin{matrix} z_{1} = a + b i \\ z_{2} = c + d i \\ z_{1} . z_{2} = (a + b i) . (c + d i) = a c + a d i + b c i + b d i^{2} = a c + (a d + b c) i - b d \end{matrix}$ $z_{1} . z_{2} = (a c - b d) + (a d + b c) i$

\begin{matrix} z_{1} = a + b i \\ z_{2} = c + d i \\ z_{1} . z_{2} = (a + b i) . (c + d i) = a c + a d i + b c i + b d i^{2} = a c + (a d + b c) i - b d \end{matrix}

z_{1} . z_{2} = (a c - b d) + (a d + b c) i

4. Divisão

$z_{1} = a + b i$ $z_{2} = c + d i$ $\frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{a + b i}{c + d i} = \frac{a + b i}{c + d i} = \frac{(a + b i) . (c - d i)}{(c + d i) . (c - d i)} = \frac{a c - a d i + b c i - b d i^{2}}{c^{2} - d^{2} i^{2}}$ $\frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{(a c + b d) + (b c - a d) i}{c^{2} + d^{2}} = \frac{a c + b d}{c^{2} + d^{2}} + \frac{b c - a d}{c^{2} + d^{2}} i$

z_{1} = a + b i

z_{2} = c + d i

\frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{a + b i}{c + d i} = \frac{a + b i}{c + d i} = \frac{(a + b i) . (c - d i)}{(c + d i) . (c - d i)} = \frac{a c - a d i + b c i - b d i^{2}}{c^{2} - d^{2} i^{2}}

\frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{(a c + b d) + (b c - a d) i}{c^{2} + d^{2}} = \frac{a c + b d}{c^{2} + d^{2}} + \frac{b c - a d}{c^{2} + d^{2}} i

Note que a fórmula da divisão de números complexos é muito "complexa", deve-se então dar preferência para a divisão direta dos números dados. Por exemplo:

$\begin{matrix} z_{1} = 5 + 2 i \\ z_{2} = 3 - 4 i \\ \frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{5 + 2 i}{3 - 4 i} = \frac{(5 + 2 i) . (3 + 4 i)}{(3 - 4 i) . (3 + 4 i)} = \frac{15 + 20 i + 6 i - 8}{9 + 16} = \frac{7}{25} + \frac{26}{25} i \end{matrix}$

\begin{matrix} z_{1} = 5 + 2 i \\ z_{2} = 3 - 4 i \\ \frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{5 + 2 i}{3 - 4 i} = \frac{(5 + 2 i) . (3 + 4 i)}{(3 - 4 i) . (3 + 4 i)} = \frac{15 + 20 i + 6 i - 8}{9 + 16} = \frac{7}{25} + \frac{26}{25} i \end{matrix}

A divisão deve ser feita seguindo o desenvolvimento da fórmula que, como se pode notar, é melhor do que simplesmente decorá-la.

Ocorreu um erro ao carregar os comentários.

{{comments.total}} Comentário

{{comments.total}} Comentários

Seja o primeiro a comentar

Essa discussão está encerrada

Matemática

Explorando Estatísticas e Probabilidades: o mundo da Loteria como caso prático

Exercícios sobre volume de pirâmide

Tabela verdade

Exercícios sobre tronco de cone

Exercícios sobre arredondamento de números

Exercícios sobre matriz simétrica

Volume do tronco de cone

Reforma tributária

Perímetro do quadrado

Proporção áurea

Exercícios sobre multiplicação de polinômios

Exercícios sobre desvio-padrão

Exercícios sobre volume da esfera

Área do losango

Livre mercado

Exercícios sobre esfera

Exercícios sobre raiz quadrada aproximada

Desvio-padrão

Apótema

Como transformar minutos em horas?

Tangente

Volume da esfera

Exercícios sobre soma e produto

Exercícios sobre função constante

Operações matemáticas básicas

Raiz quadrada aproximada

Matriz simétrica

Calota esférica

Mediatriz

Exercícios sobre área do quadrado

Área do quadrado

Área do triângulo retângulo

Simetria

Exercícios sobre combinação com repetição

Exercícios sobre arranjo com repetição

Exercícios sobre equação do 1º grau

Exercícios sobre multiplicação de frações

Soma e produto

Exercícios sobre áreas de figuras planas

Exercícios sobre função bijetora

Polígono regular

Exercícios sobre matriz identidade

Exercícios sobre raiz cúbica

Exercícios sobre função injetora

Raiz cúbica

Exercícios sobre hexágono

Número pi (?)