Números complexos - História de uma unidade imaginária

• Conceito e representações
• Potências
• Igualdade e conjugado
• Operações na forma algébrica
• Forma algébrica e trigonométrica

Em 1545, na Itália, pesquisavam-se as soluções de equações algébricas. Um folheto de problemas proposto pelo matemático Girolamo Cardano exibia o seguinte problema:

"Dividir o número 10 em duas parcelas cujo produto seja 40".

Para Cardano, "o problema é manifestamente impossível, mas, mesmo assim, vamos operar": ele mostrou que os números 5 + $$\sqrt{-15}$$ e 5 - $$\sqrt{-15}$$ funcionariam como soluções do problema.

Contudo, ele não encontrou explicação para esses resultados. Somente supunha que esses números - uma vez obedecendo às regras da álgebra válidas para números reais - satisfaziam as condições impostas:

• a soma dos dois números é 10;
• produto dos dois números é 40.

Algo mais inquietante ocorria na resolução da equação x³ - 15x - 4 = 0. Cardano conhecia a solução x = 4, mas a aplicação de uma regra prática levava a $$\sqrt{-15}$$.

Porém, como se chega a $$\sqrt{-15}$$ = 4?

A resposta foi dada em 1572, por Rafael Bombelli, a quem ocorreu que talvez cada uma das parcelas (expressas como raízes cúbicas) fossem algo do tipo a + $$\sqrt{-b}$$ e a - $$\sqrt{-b}$$.

Supondo, novamente, que se pudessem operar tais entidades segundo as mesmas regras da álgebra dos números reais, ele chegou à forma:

$$\sqrt[3]{2+\sqrt{-121}}$$ = 2 + $$\sqrt{-1}$$

$$\sqrt[3]{2-\sqrt{-121}}$$ = 2 - $$\sqrt{-1}$$

e, finalmente,

$$x=\sqrt[3]{2+\sqrt{-121}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{-121}}$$= 2 + $$\sqrt{-1}$$ + 2 - $$\sqrt{-1}$$ = 4.

O próprio Bombelli duvidou da validade desses resultados: "Foi uma idéia louca, julgaram muitos e também eu fui dessa opinião. Tudo parecia ser mais um sofisma que uma verdade."

De fato, os nomes atribuídos a esses novos números refletem bem o desconforto que causaram, na falta de coisa melhor: números "sofísticos", "sem significado", "impossíveis", "fictícios", "místicos", "imaginários".

Leonhard Euler

Mesmo assim, eles vieram resolver a insuficiência dos números reais para a solução das equações algébricas, resolvendo o problema das raízes desses números.

Entretanto, ainda faltava formalizarem-se as operações, propriedades e elementos especiais dos números complexos. Isso aconteceu mais de dois séculos depois com Leonhard Euler (1707-1783).

Euler começou por melhorar a simbologia dos números complexos, substituindo a notação $$\sqrt{-1}$$ por i, sendo i um ente tal que i² = -1, chamado base dos números imaginários: a partir daí, o número a + b $$\sqrt{-1}$$ passava a ser representado na sua forma algébrica, a + bi, possibilitando operações como se fossem polinômios.

a + bi $$\begin{array}{c}+\\ -\end{array}$$ (c + di) = a $$\begin{array}{c}+\\ -\end{array}$$ c + (b $$\begin{array}{c}+\\ -\end{array}$$ d)i
(a + bi) . (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i

Para quaisquer x, y, z complexos, também se provaram as propriedades: i²

• associativa da adição (x + y) + z = x + (y + z)
• associativa do produto (x . y) . z = x . (y . z)
• comutativa da adição x + y = y + x
• comutativa da multiplicação x . y = y . x
• existência de um elemento neutro para a adição $$\exists x/x+y=y$$
• outro neutro para o produto $$\sqrt{-b}$$
• existência, para cada número, de elemento oposto $$\exists x·y/y=-x$$