Números complexos: História de uma unidade imaginária

Maria Ângela de Camargo, Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação

Em 1545, na Itália, pesquisavam-se as soluções de equações algébricas. Um folheto de problemas proposto pelo matemático Girolamo Cardano exibia o seguinte problema:

"Dividir o número 10 em duas parcelas cujo produto seja 40".

Para Cardano, "o problema é manifestamente impossível, mas, mesmo assim, vamos operar": ele mostrou que os números 5 + - 1 5 e 5 - - 1 5 funcionariam como soluções do problema.

Contudo, ele não encontrou explicação para esses resultados. Somente supunha que esses números - uma vez obedecendo às regras da álgebra válidas para números reais - satisfaziam as condições impostas:

  • a soma dos dois números é 10;
  • produto dos dois números é 40.

Algo mais inquietante ocorria na resolução da equação x3 - 15x - 4 = 0. Cardano conhecia a solução x = 4, mas a aplicação de uma regra prática levava a - 1 5 .

Porém, como se chega a - 1 5 = 4?

A resposta foi dada em 1572, por Rafael Bombelli, a quem ocorreu que talvez cada uma das parcelas (expressas como raízes cúbicas) fossem algo do tipo a + - b e a - - b .

Supondo, novamente, que se pudessem operar tais entidades segundo as mesmas regras da álgebra dos números reais, ele chegou à forma:

2 + - 1 2 1 3 = 2 + - 1

2 - - 1 2 1 3 = 2 - - 1

e, finalmente,

x = 2 + - 1 2 1 3 + 2 - - 1 2 1 3 = 2 + - 1 + 2 - - 1 = 4.

O próprio Bombelli duvidou da validade desses resultados: "Foi uma idéia louca, julgaram muitos e também eu fui dessa opinião. Tudo parecia ser mais um sofisma que uma verdade."

De fato, os nomes atribuídos a esses novos números refletem bem o desconforto que causaram, na falta de coisa melhor: números "sofísticos", "sem significado", "impossíveis", "fictícios", "místicos", "imaginários".

Leonhard Euler

Mesmo assim, eles vieram resolver a insuficiência dos números reais para a solução das equações algébricas, resolvendo o problema das raízes desses números.

Entretanto, ainda faltava formalizarem-se as operações, propriedades e elementos especiais dos números complexos. Isso aconteceu mais de dois séculos depois com Leonhard Euler (1707-1783).

Euler começou por melhorar a simbologia dos números complexos, substituindo a notação - 1 por i, sendo i um ente tal que i2 = -1, chamado base dos números imaginários: a partir daí, o número a + b - 1 passava a ser representado na sua forma algébrica, a + bi, possibilitando operações como se fossem polinômios.

a + bi + - (c + di) = a + - c + (b + - d)i
(a + bi) . (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i

Para quaisquer x, y, z complexos, também se provaram as propriedades: i2



  • associativa da adição (x + y) + z = x + (y + z)
  • associativa do produto (x . y) . z = x . (y . z)
  • comutativa da adição x + y = y + x
  • comutativa da multiplicação x . y = y . x
  • existência de um elemento neutro para a adição x / x + y = y
  • outro neutro para o produto - b
  • existência, para cada número, de elemento oposto x · y / y = - x

Maria Ângela de Camargo, Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação é professora de matemática no Colégio Ítaca.



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