Parábola (1): Estudo do gráfico da função quadrática

Carlos Alberto Campagner, Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação

Como se viu em Funções 2 a parábola representa o gráfico da função de 2° grau. Mas este gráfico pode ter algumas variações que serão estudados agora e este estudo facilitará a construção do gráfico.

A função de 2°grau ou função quadrática é definida pela expressão:

f x = a x 2 + b x + c

com a, b e c pertencendo ao conjunto dos números reais e a 0 .Estudo da concavidade
Veja os gráficos de

f x = 2 x 2 e f x = - 2 x 2

, respectivamente:











 

 

 

Note que quando o a é positivo a concavidade da parábola é para cima e quando é negativo a concavidade é para baixo, isto para qualquer a.

Estudo da intersecção da parábola com os eixos x
Sabendo-se que

Δ = b 2 - 4 a c

, o estudo do sinal de Δ determina a intersecção com o eixo dos x.

Esta intersecção se dá quando o

f x = y = 0

. Logo, os pontos no eixo x são as raízes da função.

Quando o Δ > 0 , existem duas raízes reais e haverá dois pontos de intersecção, veja o exemplo:

f x = y = x 2 - 5 x + 4

Calculando-se o

Δ

, tem-se que:

Δ = - 5 2 - 4 · 4 · 1 = 2 5 - 1 6 = 9

Logo, o Δ é positivo e haverá dois pontos de intersecção, que serão as raízes (1 e 4), e como o a > 0 (a é positivo) a concavidade é para cima e o gráfico é:

 


 

 

 

 

 

 

Para Δ = 0 , a função tem somente uma raiz e tangencia o eixo dos x, veja:

f x = y = x 2 - 4 x + 4
Δ = - 4 2 - 4 · 4 · 1 = 1 6 - 1 6 = 0

A raiz é 2, logo a parábola tangenciará neste ponto.

 

 

 

 

 

 

 

E finalmente com Δ < 0 , em que a função não possui raízes:

f x = y = x 2 + 4 x + 1 0
Δ = 4 2 - 4 · 1 0 · 1 = 1 6 - 4 0 = - 2 4


 

 

 

 

 

 

Lembrando-se que o a < 0 , tem-se os mesmos resultados, porém com a concavidade para baixo.

Coordenadas do vértice
As coordenadas do vértice são:

V x V , y V

sendo

x V = - b 2 a e y V = - Δ 4 a

Finalmente com as coordenadas do vértice e as regras acima descritas a confecção do gráfico se torna muito mais fácil.

Carlos Alberto Campagner, Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação é engenheiro mecânico, com mestrado em mecânica, professor de pós-graduação e consultor de informática.



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