Perímetro do círculo - Cálculos a partir do perímetro de polígonos regulares
Tomando por base um hexágono, podemos deduzir as relações entre seus lados, bem como uma circunferência de raio unitário, na qual ele se encontra inscrito:
Figura 1 - Hexágono inscrito em uma circunferência de raio unitário.
Note que o ângulo de 30o é metade do ângulo interno de 60o, que, ao ser multiplicado por 6, resulta em 360o.
A metade do lado l/2, segundo a regra do seno de 30o, vale
Essa é uma característica importante do hexágono: ter o lado igual ao raio da circunferência em que está inscrito.
O perímetro do hexágono será 6.
Agora, vejamos o hexágono que circunscreve uma circunferência de raio unitário:
Figura 2 - Hexágono que circunscreve uma circunferência de raio unitário.
Usando-se a tangente do ângulo de 30o:
E o perímetro será de: .
Nota: o valor dos lados poderia ser calculado utilizando-se o teorema de Pitágoras.
Contudo, o comprimento da circunferência estará entre os dois perímetros: o do hexágono inscrito e o do hexágono que circunscreve o círculo:
Figura 3. Hexágonos - inscrito e circunscritivo - e circunferência de raio unitário.
Logo, o valor do perímetro da circunferênciase encontra entre os valores:
E o valor de :
Ora, se aumentamos o número de lados do polígono regular, o resultado será um valor de PI cada vez mais exato.
Arquimedes pensou nisso e conseguiu calcular o valor de PI para um polígono de 96 lados, chegando a um valor de:
Por exemplo, para um polígono de 384 lados:
Você conseguiria chegar à expressão do comprimento do lado de um polígono de 96 lados?
E de 384?
Note que os dois são polígonos com lados múltiplos de 6.
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