Plano cartesiano (1): Geometria analítica e equação da curva

Maria Ângela de Camargo, Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação

A geometria analítica em duas dimensões usa a álgebra para descrever figuras planas e suas propriedades. O principal recurso dessa geometria é o plano cartesiano, determinado por duas retas reais perpendiculares, horizontal e vertical.

No plano cartesiano, cada ponto está univocamente associado a um par ordenado, onde o primeiro e segundo elemento denotam respectivamente a abscissa (ou projeção do ponto no eixo horizontal) e a ordenada (ou projeção do ponto no eixo vertical).

Coordenadeas

Assim, os elementos do par ordenado constituem as coordenadas do ponto no plano cartesiano e o par de eixos tem o nome de eixos coordenados.

Pontos sobre o eixo horizontal apresentam ordenada nula. Reciprocamente, pontos sobre o eixo vertical apresentam abscissa nula.

  • A (xA, yA)

  • P (xp , 0)

  • Q (0 , yp)

  • P Ox yp = 0

  • Q Oy xq = 0


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Quadrantes

Pontos que não pertencem a nenhum dos eixos coordenados pertencem a um dos quadrantes do plano cartesiano:


 

 

 

 

 

Observe que pontos pertencentes ao mesmo quadrante devem obedecer aos mesmos quesitos:


1° quadrante xp > 0 e yp > 0
P ? 2° quadrante xp < 0 e yp > 0
P ? 3° quadrante xp < 0 e yp < 0
P ? 4° quadrante xp > 0 e yp < 0

Veja que aqui fizemos a definição de lugares geométricos por meio de desigualdades. Cada reta define dois semiplanos e cada quadrante foi definido pela região comum a dois semiplanos.

Observe como se definem as regiões usando outras figuras além dos planos coordenados:

  • (r ) x - y + 1 = 0

 

 

 

 

 


 

A reta r define dois semiplanos opostos, dos quais r é a fronteira. Na figura, a região hachurada corresponde aos pontos em que x - y + 1 0.

 

  • (r ) y = x + 1



 

 

 

 

 

 

A circunferência (C) (x-1)2 + (y+1) 2 = 9 tem centro (1,-1) e raio 3; pontos do plano cartesiano cuja distância ao ponto (1;-1) é maior que 3 são externos a C.

  • (s) y = -6x + 60


 

 

 

 

 

 

Aqui, a região duplamente hachurada representa os pontos que satisfazem simultaneamente às restrições:
y 2x -1 (semiplano dos pontos acima da reta r)
e
x2 + (y+1) 2 4 (pontos internos ou pertencentes à circunferência.)

Agora, uma região triangular, para você caracterizar:

As retas r, s e t, concorrentes duas a duas, determinam uma região triangular:

  • (t) y = -x + 10


 

 

 

 

 

 

a) Quais são os quesitos ( = desigualdades!) que definem essa região?
b) O ponto A (5,10) pertence ou não pertence a essa região?

Maria Ângela de Camargo, Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação é professora de matemática do Colégio Ítaca.



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