Polinômios: Operações, divisão, Briot-Ruffini, divisão por (x-a), teorema do resto

Carlos Alberto Campagner, Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação

Operações
Tomando-se o seguinte polinômio P x = a n x + a n - 1 x - 1 + + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 onde a n , a n - 1 , , a 1 , a 0 são constantes e definidas como coeficientes e n é definido como o grau do polinômio.

Por exemplo: P x = x 4 + 7 x 3 + 6 x 2 - 7 x + 8

a. Adição
A adição (ou subtração) de polinômios se dá com a soma (ou subtração) dos coeficientes para variáveis comuns:

P 1 x = x 4 + 7 x 3 + 6 x 2 - 7 x + 8
P 2 x 3 x 3 + 4 x 2 - 2 x + 1 8
Então P 1 x + P 2 = x 4 + 1 0 x 3 + 1 0 x 2 - 9 x + 2 6
Ou P 1 x - P 2 x = x 4 + 4 x 3 + 2 x 2 - 5 x - 1 0

b. Multiplicação
A multiplicação de um polinômio se dá a multiplicação de cada elemento do polinômio por cada elemento do outro polinômio:

P 1 x = 6 x 2 - 7 x + 8
P 2 x = - 2 x + 1 8
Então P 1 x · P 2 x = 6 x 2 - 2 x + 1 8 - 7 x - 2 x + 1 8 + 8 - 2 x + 1 8

c. Divisão
Como regra geral a divisão de um polinômio P 1 x (definido como numerador) por um polinômio P 2 x (definido como denominador) segue o mesmo esquema da multiplicação, dividindo elemento por elemento do primeiro pelo segundo. Só que nesse caso o resto de cada divisão deve ser somado aos elementos de mesmo grau do numerador antes da próxima divisão do elemento seguinte.

Uma dos algoritmos utilizados é o método da chave:


 

 

 

Descrição: divide-se a parcela 6 x 3 do numerador pela primeira parcela do denominador 2 x 2 obtendo-se . Ao se multiplicar a parcela 3 x por todos as parcelas do denominador 2 x 2 - 3 x - 1 e invertendo-se o sinal de cada parcela obtém-se - 6 x 3 + 9 x 2 + 3 x + 3 que somado ao numerador resulta em - 4 x 2 + 4 x + 3 . Repetindo-se a mesma operação novamente obtém-se o resultado 3 x - 2 com o resto - 2 x + 1 .

d. Briot-Ruffini e divisão por (x-a)
Há um caso particular de divisão pelo denominador do tipo x - a onde o algoritmo da chave descrito acima pode ser utilizado. E se o resto da divisão for igual à zero o fator (a) será raiz do polinômio numerador.

Um outro algoritmo que pode ser utilizado nesse caso é o de Briot-Ruffini, que utiliza somente os coeficientes do polinômio numerador é utilizado simplificando o esquema.

Exemplo: P 1 x = 5 x 4 - 3 x 2 + x - 1 dividido pelo binômio x - 2

Pelo método da chave:

  5 0 -3 1 -1
2 5 10 17 35 69

Obs.: Como o coeficiente de x 3 é zero deve-se coloca-lo na primeira linha, o resto é o fator (a) do binômio, no caso 2 multiplicado pelo último coeficiente (35) e somado ao último coeficiente do numerador (-1), ou seja: R = 2 · 3 5 - 1 = 6 9

Tendo como resultado 5 x 3 + 1 0 x 2 + 1 7 x 3 5 e com 69 de resto.

Note que poderia ser usado o método da chave, mas por Briot-Ruffini verifica-se ser mais simples.

e. Teorema do resto
O teorema do resto define que a divisão de um polinômio P x pelo binômio do tipo a x + b tem como resto R = P - b a .

Exemplo: o polinômio do exemplo anterior 5 x 3 + 1 0 x 2 + 1 7 x + 3 5 foi dividido por x - 2 que possui a = 1 e b = -2 então:

R = P - b a = P 1 2 = P 2 = 5 x 4 - 3 x 2 + x - 1 = 5 · 1 6 - 3 · 4 + 2 - 1 = 6 9

Uma das interações do teorema do resto é o teorema de D'Alembert que define que para um polinômio  P x ser divisível por um binômio do tipo a x + b se e somente se P - b a = 0

Carlos Alberto Campagner, Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação é engenheiro mecânico, com mestrado em mecânica, professor de pós-graduação e consultor de informática.



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