Potência (1): Propriedades da potenciação

A potenciação, ou potência, é uma ferramenta útil para simplificar cálculos com números grandes - foi, aliás, desenvolvida com esse intuito, como mostra a história da criação da potência.

Diz-se que a potenciação facilita os cálculos matemáticos principalmente graças às propriedades que ela têm. Veja:

Potências de mesma base

A propriedade que Arquimedes é que na multiplicação de potências de mesma base, conservam-se as bases e somam-se os expoentes".

Isto é: 23 x 25 = 28 ou, numa fórmula genérica:

a n × a m = a n + m

Trata-se da propriedade fundamental da potência. Dela se originariam todas as outras que conhecemos hoje.

Expoentes negativos

Oresmus, pensador do renascimento descobriu que, na tabela de potência desenvolvida por Arquimedes, na série de baixo (dos resultados das potências), andando-se para a direita, os números se multiplicam por 2. Logo, caso se ande no sentido inverso, para a esquerda, os números de dividem por 2.

Multiplica-se por 2
n1234567
2n248163264128
Divide-se por 2










Ora se a tabela é infinita para a direita, multiplicando-se sempre por 2, pode-se também caminhar infinitamente para a esquerda, dividindo-se sempre por 2. E a série superior (dos expoentes), em expansão para a esquerda, tomaria o número zero e os números negativos.

Multiplica-se por 2                      
N - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6
  1/16:2 1/8:2 1/4:2 1/2:2 1:2 2:2 4:2 8:2 16:2 32:2 64:2 128:2
2n 1/32 1/16 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8 16 32 64
                      Divide-se por 2

Generalizando, se a é um número diferente de zero, então:

a - n = 1 a n e a 0 = 1

Dessa propriedade, se origina a relativa à divisão de potências de mesma base:

Se am é dividido por an, a divisão pode ser entendida como uma multiplicação pelo inverso do divisor. Então:

a m : a n = a m × 1 a n ora  1 a n = a - n

Dessa forma am: an = am. a-n, e, pela propriedade de Arquimedes, Oresmus resolve o problema da acumulação da divisão:

a m : a n = a m - n

b) Propriedade da potência da potência:
Tem-se uma potência de uma potência:

a 3 2 = a 3 × a 3 = a 3 + 3 = a 6 = a 3 × 2

E generalizando:

a n m = a n × m

Aqui Oresmus resolve o problema da acumulação na potência, reduzindo-a à multiplicação que é uma operação mais simples.

c) Propriedade dos expoentes fracionários:

Se temos a 1 2 , podemos decompor o expoente de a1. Ele é o mesmo que a1/2+1/2 ou a 1/2 . a 1/2.

Desta forma

a 1 2 = a 1 2 + 1 2 2 = a 1 2 . a 1 2 2 = a 1 2

ou seja

a 1 2 =  a 1 2

.

Oresmus construiu este raciocínio com diversas raízes e com diversos expoentes para, então, generalizar:

a F 4 = a F 4

Com essa propriedade, Oresmus resolveu o problema da acumulação na raiz, reduzindo-a à divisão que é uma operação mais simples.

As propriedades de Oresmus juntaram-se à de Arquimedes. Com elas, o problema de "acumulação" nos cálculos encontraram uma saída. Cada operação era redutível, através dos expoentes a uma operação mais simples:

Operações fundamentais Operações inversas
A potenciação era redutível à multiplicação dos expoentes. A raiz era redutível à divisão de expoentes.
A multiplicação era redutível à soma de expoentes. A divisão era redutível à subtração dos expoentes.

Estava, pois, aberto o caminho para o princípio do mais rápido, mais simples e menos trabalhoso retomar o seu curso de desenvolvimento. Oresmus ainda tentou desenvolver mais as suas propriedades, incluindo nelas a questão dos expoentes irracionais como x 2 . Mas como as potências e as raízes naquela época tinham uma notação muito complicada, ele não conseguiu ir em frente.



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