Potenciação - expoente negativo: Um modo fácil de lidar com ele

Antonio Rodrigues Neto, Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação

Qual a diferença entre 3 2 3 - 2 ? No primeiro caso, aprendemos que é 3x3=9. Mas, e no segundo? O expoente negativo causa estranhamento e, para interpretá-lo, temos que recorrer a uma das propriedades da potenciação.

A propriedade que possibilita a explicação desse fato surge na divisão entre potências em que a base do dividendo é igual à base do divisor. Essa condição permite, como forma de simplificação, subtrairmos o expoente do dividendo pelo expoente do divisor. Assim, em uma operação como 2 6 : 2 3 , em vez de fazermos 2 6 : 2 3 = 6 4 : 8 = 8 , teremos como opção: 2 6 : 2 3 = 2 6 - 3 = 2 3 .

É essencial, na aplicação dessa propriedade, estar atento para que o expoente do dividendo seja sempre subtraído pelo expoente do divisor. Se invertermos a posição dos expoentes, estaremos invertendo a ordem da operação, isto porque 2 6 : 2 3 2 3 = 2 6 , já que 6 4 : 8 8 : 6 4 .

Diferente da multiplicação - em que a ordem dos fatores não altera o produto -, na divisão, se trocarmos a ordem das posições entre o dividendo e o divisor, estaremos invertendo o resultado. Os dois exemplos anteriores estimulam esse tipo de observação: 2 6 : 2 3 = 6 4 : 8 = 8 e 2 3 : 2 6 = 8 : 6 4 = 1 8 .

A inversão da posição entre o dividendo e o divisor pode ser indicada pelo sinal do expoente, se a propriedade for bem aplicada. No exemplo em que 2 6 : 2 3 é igual 2 6 - 3 = 2 3 , se invertermos a ordem da operação, teremos 2 3 : 2 6 = 2 3 - 6 = 2 - 3 . Como já temos a informação de que 2 3 : 2 6 = 1 8 , podemos reescrever que 2 - 3 = 1 8 .

Estratégia para trocar o sinal

Lembrando que o inverso de 1 8 é 8, e que este pode ser escrito na forma 8 1 , podemos afirmar que inverter um número é dar-lhe uma boa cambalhota. Assim, o inverso do 1 2 é 2 e do 3 2 é 2 3 , o que nos estimula a um jogo que ajudará a construir uma regra para calcularmos potências com expoentes negativos.

Inverter a base será uma estratégia para trocarmos o sinal do expoente, uma estratégia que pode ser mostrada a partir de um exemplo bem simples, com a pergunta: qual o valor de 3 2 : 3 4 ?

Um caminho de resolução bem conhecido para esse caso é fazermos 9 : 8 1 = 1 9 = 1 3 2 . No entanto, se aplicarmos a propriedade da potenciação, teremos outro caminho, dado por 3 2 : 3 4 = 3 2 - 4 = 3 - 2 . Analisando esses dois caminhos, consequências de uma mesma pergunta, concluímos que 3 - 2 = 1 3 2 . Uma conclusão com uma igualdade que mostra bases invertidas e expoentes de sinais trocados.

Esse tipo de conclusão, a partir dos mais variados exemplos, conduz com bastante firmeza a uma regra: podemos trocar o sinal do expoente se, simultaneamente, invertermos a base.

Poder trocar o sinal do expoente invertendo a base facilita e agiliza o cálculo de potências com expoentes negativos. As manobras matemáticas ficam mais rápidas.

Qual o valor de 1 2 - 3 ? Basta invertermos a base, que passa a ser 2, trocando simultaneamente o sinal do expoente para +3 ou 3. Assim, 1 2 - 3 é igual a 2 3 = 2 . 2 . 2 = 8 . Para finalizar os exemplos, podemos fazer mais uma pergunta: Qual é o valor de 3 2 - 2 ? Respondemos com 2 3 2 , para logo depois fazermos 2 3 . 2 3 = 4 9 .

O sinal negativo de um expoente não passa de um código que está nos alertando que a base está invertida. Com essa nova interpretação, a regra do expoente negativo se transforma em uma regra simples e fácil de ser aplicada no jogo matemático. Mas não esqueça: foi uma propriedade que a gerou.

Antonio Rodrigues Neto, Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação é professor de matemática no ensino fundamental e superior. É mestre em educação pela Faculdade de Educação da USP com a dissertação "Geometria e Estética: experiências com o jogo de xadrez".



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