Progressão geométrica (PG): Fórmula da seqüência numérica

Carlos Alberto Campagner, Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação

Assim como a progressão aritmética, a progressão geométrica (PG) é uma maneira de estabelecer uma seqüência de números. Neste caso, no entanto, em vez de uma soma como elemento constante, temos uma multiplicação.

Imagine uma progressão em que a lei de formação seja a multiplicação do termo anterior por um número. A progressão com esta lei de formação chama-se Progressão Geométrica ou P.G.. Exemplo:

(2,4,8,16,32,64,...)

O quociente entre dois números consecutivos é igual a 2.

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Fórmula da PG: do enésimo termo

Pela definição de PG, a fórmula de um termo é:

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Logo pode-se deduzir que para um termo qualquer :


(*)

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Fórmula da soma de um a P.G.

Como não temos o gênio de Gauss, que descobriu a fórmula das Progressões Aritméticas num estalo, a dedução da fórmula da soma de uma P.G. é um pouco mais trabalhosa.

Em uma P.G. a soma dos n primeiros termos será:

(**)

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Multiplicando-se os dois termos por q tem-se:

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Como

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Tem-se

(***)


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Fazendo (**) menos (***) obtemos:

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Como de (*)

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Logo:

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para (pois é óbvio que com q = 1 não existe P.G.)

Uma curiosidade:

Conta a lenda que o inventor do jogo de xadrez foi agraciado pelo rei por sua invenção com um pedido. O inventor pediu pouca coisa:

1 grão de trigo para a primeira casa do tabuleiro de xadrez,
2 grãos pela segunda casa,
4 grãos pela terceira casa,
8 grãos pela quarta casa
e assim sucessivamente até a 64º do tabuleiro.

Será que ele pediu pouca coisa?

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O resultado é nada menos que18.446.744.073.709.551.615 grãos... ou seja, dezoito quintilhões, quatrocentos e quarenta e seis quatrilhões, setecentos e quarenta e quatro trilhões, setenta e três bilhões, setecentos e nove milhões, quinhentos e cinqüenta e um mil, seiscentos e quinze grãos. Que tal?

Carlos Alberto Campagner, Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação é engenheiro mecânico, com mestrado em mecânica, professor de pós-graduação e consultor de informática.



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