Proporção áurea: Número "escondido" na natureza

Maria Ângela de Camargo, Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação

É costume que se chame o número 1 b = 1,618... = Φ de número de ouro ou razão áurea, por representar o proporção áurea, ou a divina proporção

Considere um retângulo de dimensão a e b, sendo a > b e tais que, subtraindo-se um quadrado do seu comprimento, reste um retângulo semelhante ao primeiro, conforme se vê abaixo:

 

 

 

Este é o chamado retângulo áureo, figura de grande apelo estético e forma das mais utilizadas na arquitetura clássica e moderna (o Partenon, em Atenas, por exemplo, tem as dimensões frontais do retângulo áureo).


Da semelhança entre os dois retângulos, decorre a equação: a b = b a - b .

Exprimindo b em função de a, chegamos a: b = a ( 5 - 1 ) 2 .

O segmento b é denominado segmento áureo de a. Em outras palavras: se um segmento tem comprimento a, o seu áureo tem comprimento a ( 5 - 1 ) 2 .

Observando a base do retângulo maior:


 

 

 

Dizer que b = AD é o segmento áureo de a = AB equivale a dizer que C é um ponto do segmento AB tal que AD AB = CB AD .

Também é comum dizer que o ponto D divide o segmento AB em média e extrema razão.

Se a = 1, b = ( 5 - 1 ) 2 0 .6 1 8


Se b = 1, a = ( 5 + 1 ) 2 = 1 b 1 .6 1 8

Compare os dois últimos resultados: 1/ Φ + 1 = Φ .

Propriedades da proporção áurea

Esse número tem várias outras propriedades interessantíssimas:

a) Somar duas potências inteiras consecutivas de Φ resulta na próxima potência de Φ :

Φ 2 = Φ + 1 Φ + 1 = Φ 2 Φ + Φ 2 = Φ 3 Φ 2 + Φ 3 = Φ 4 Φ n + Φ n - 1 = Φ n + 2

 

b) O mesmo acontece com potências de expoente inteiro negativo:

1 = 1 / Φ + 1 / Φ 2 1 / Φ = 1 / Φ 2 + 1 / Φ 3 1 / Φ = 1 / Φ 2 + 1 / Φ 3

 

c) Por fim, a soma de todas as potências inteiras negativas de Φ produz o próprio Φ :

1 / Φ + 1 / Φ 2 + 1 / Φ 3 + 1 / Φ 4 + 1 / Φ 5 + 1 / Φ 6 .. . = Φ


d) Para gerar Φ em uma calculadora simples, siga os passos:

  • insira 1
     
  • inverta o resultado , e some 1
     
  • inverta o resultado, e some 1

    Continue o processo e o resultado convergirá para Φ !


    Φ = 1 + 1 1 + 1 1 + 1 1 + . . .


    Essa é para você pensar: qual é a seqüência de passos dessa expressão que, surpreendentemente, também converge para Φ ?


    Φ = 1 + 1 + 1 + 1 + . . .


    A divina proporção na arte e nas ciências Na natureza, a razão áurea parece orientar a posição das pétalas e sementes nas margaridas e girassóis, e a curvatura da concha do Náutilus. A divina proporção também foi encontrada na seqüência de Fibonacci.

    Nas artes, retângulos áureos serviram de moldura para inúmeras obras, para artistas como Leonardo da Vinci e Albrecht Dührer. Para além da harmonia, a razão áurea era um ideal de perfeição.

    Segundo o modelo do homem perfeito, impresso no Homem Vitruviano, de Da Vinci, as dimensões obedecem a divina proporção; o umbigo divide a altura do corpo humano em dois segmentos que estão na razão áurea.

    O ombro divide a distância entre as extremidades dos dedos (braços abertos
    perpendicularmente ao corpo) em dois segmentos que estão na mesma razão áurea.



 

 

 

 

 

 

Maria Ângela de Camargo, Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação é professora de matemática do Colégio Ítaca.



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