Proporção áurea - Número "escondido" na natureza

É costume que se chame o número $$\frac{1}{b}$$ = 1,618... = $$\Phi$$de número de ouro ou razão áurea, por representar o proporção áurea, ou a divina proporção

Considere um retângulo de dimensão a e b, sendo a > b e tais que, subtraindo-se um quadrado do seu comprimento, reste um retângulo semelhante ao primeiro, conforme se vê abaixo:

Este é o chamado retângulo áureo, figura de grande apelo estético e forma das mais utilizadas na arquitetura clássica e moderna (o Partenon, em Atenas, por exemplo, tem as dimensões frontais do retângulo áureo).

Da semelhança entre os dois retângulos, decorre a equação: $$\frac{\text{a}}{\text{b}}=\frac{\text{b}}{\text{a}-\text{b}}$$ .

Exprimindo b em função de a, chegamos a: $$\text{b}=\text{a}\frac{(\sqrt{5}-1)}{2}$$.

O segmento b é denominado segmento áureo de a. Em outras palavras: se um segmento tem comprimento a, o seu áureo tem comprimento $$\text{a}\frac{(\sqrt{5}-1)}{2}$$.

Observando a base do retângulo maior:

Dizer que b = AD é o segmento áureo de a = AB equivale a dizer que C é um ponto do segmento AB tal que $$\frac{\text{AD}}{\text{AB}}=\frac{\text{CB}}{\text{AD}}$$.

Também é comum dizer que o ponto D divide o segmento AB em média e extrema razão.

Se a = 1, b = $$\frac{(\sqrt{5}-1)}{2}\approx 0.618$$

Se b = 1, a = $$\frac{(\sqrt{5}+1)}{2}=\frac{1}{\text{b}}\approx 1.618$$

Compare os dois últimos resultados: 1/$$\Phi$$ + 1 = $$\Phi$$.

Propriedades da proporção áurea

Esse número tem várias outras propriedades interessantíssimas:

a) Somar duas potências inteiras consecutivas de $$\Phi$$ resulta na próxima potência de $$\Phi$$:

b) O mesmo acontece com potências de expoente inteiro negativo:

c) Por fim, a soma de todas as potências inteiras negativas de $$\Phi$$ produz o próprio $$\Phi$$:

d) Para gerar $$\Phi$$ em uma calculadora simples, siga os passos:

• insira 1
   
• inverta o resultado , e some 1
   
• inverta o resultado, e some 1
  
  Continue o processo e o resultado convergirá para $$\Phi$$!
  
  
  

  $$\Phi =1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+...}}}$$

  
  
  Essa é para você pensar: qual é a seqüência de passos dessa expressão que, surpreendentemente, também converge para $$\Phi$$?
  
  
  

  $$\Phi =\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+...}}}}$$

  
  
  A divina proporção na arte e nas ciências Na natureza, a razão áurea parece orientar a posição das pétalas e sementes nas margaridas e girassóis, e a curvatura da concha do Náutilus. A divina proporção também foi encontrada na seqüência de Fibonacci.
  
  Nas artes, retângulos áureos serviram de moldura para inúmeras obras, para artistas como Leonardo da Vinci e Albrecht Dührer. Para além da harmonia, a razão áurea era um ideal de perfeição.
  
  Segundo o modelo do homem perfeito, impresso no Homem Vitruviano, de Da Vinci, as dimensões obedecem a divina proporção; o umbigo divide a altura do corpo humano em dois segmentos que estão na razão áurea.
  
  O ombro divide a distância entre as extremidades dos dedos (braços abertos
  perpendicularmente ao corpo) em dois segmentos que estão na mesma razão áurea.