Racionalização de denominadores: Elimine raiz do "pé" da fração

Carlos Alberto Campagner, Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação

Em alguns cálculos, você pode se deparar com raízes no denominador da fração. Para que você possa prosseguir com os cálculos, é conveniente que você elimine essas raízes do denominador - processo chamado de racionalização de denominadores. Isto é, transforma-se um denominador irracional em racional.

8 3 o denominador 3 é um número irracional e deve ser eliminado.

Atenção: o importante é eliminar a raiz (que pode ser quadrada, cúbica, etc), mantendo uma fração "equivalente", ou seja, que representa o mesmo valor.

Uma dica é multiplicar tanto o numerador (parte de cima), quanto o denominador pelo mesmo número, o que não interfere na igualdade. Se a fração anterior for multiplicada em cima e em baixo por 3 ficará:

8 3 · 3 3 Note que 3 3 é igual a 1, logo a multiplicação de um número por 1 não o altera.

Prosseguindo:

8 3 · 3 3 = 8 3 3 3 = 8 3 3 2 = 8 3 3

Como se pode notar o denominador agora é um número racional (3).

Raízes não-quadradas

Para eliminar raízes cúbicas, ou de outros índices diferentes de 2 (lembre-se: raiz quadrada é, na verdade, uma raiz de índice 2!), é necessário utilizar um artifício.

1 3 1 1 3

Multiplique, no numerador e no denominador, por uma raiz de mesmo radicando (o número dentro da raiz) e cujo índice seja equivalente ao índice da raiz original menos um. Por exemplo:

1 3 1 1 3 = 1 3 1 1 3 · 1 1 3 2 1 1 3 2 = 1 3 1 1 3 2 1 1 3 3 = 1 3 1 1 3 2 1 1

Soma de raízes no denominador

Veja:

1 3 + 2

Deve-se multiplicar por 3 - 2 .
Isso porque a multiplicação de 3 + 2 por 3 - 2 é, na verdade, a multiplicação de (a + b). (a - b), um produto notável, cujo resultado é (a2 + b2) - isto é, os radicais somem!

1 3 + 2 = 1 3 - 2 3 + 2 · 3 - 2 = 3 - 2 3 2 - 2 2 =
3 - 2 3 - 2 = 3 - 2 1 = 3 - 2

 

Carlos Alberto Campagner, Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação é engenheiro mecânico, com mestrado em mecânica, professor de pós-graduação e consultor de informática.



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