Racionalização - Denominadores

Desde a época de Euclides (séc. 3 a.C.), sabemos que as operações aritméticas tinham uma conotação geométrica. Operar dois números reais a e b era equivalente a obter elementos geométricos resultante da composição de dois segmentos de medidas a e b:

Muito antes disso, na época de Pitágoras (séc. 6 a.C.), já se sabia da existência de grandezas incomensuráveis (ou, como dizemos hoje, dos números irracionais), isto é, que não podiam ser representados pelo quociente da divisão entre dois números racionais. É provável que as primeiras grandezas incomensuráveis conhecidas tenham sido o lado e a diagonal do quadrado e do pentágono.

Se a representação de $$\sqrt{\text{a}}$$ já apresentava dificuldades conceituais, uma vez que não há racionais m e n tais que m/n = $$\sqrt{\text{a}}$$, como seriam representados os números $$\frac{X}{\sqrt{\text{a}}}$$, ou $$\frac{X}{\sqrt[3]{\text{a}}}$$, ou ainda $$\frac{X}{\text{a}+\sqrt{\text{b}}}$$?

Essa questão é conhecida como a crise dos incomensuráveis, e veio a ser resolvida por dois discípulos de Platão, Eudoxo de Cnido e Teeteto de Atenas (todos do séc 5 a.C), que apresentaram um novo método de proporções e que veio a se tornar o Método da Exaustão. Isso permitiu demonstrar teoremas com bom nível de rigor para a época.

Racionalizar

A questão da divisão por um número irracional se resolve, algebricamente, pela técnica da racionalização dos denominadores. Sendo a, b e x números racionais,

Observe que, geometricamente, podemos representar $$\frac{1}{\sqrt{2}}\text{como}\frac{1}{\sqrt{2}}·\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$$:

A racionalização facilita a representação geométrica, mas o segmento obtido não deixa de ser irracional.

Como curiosidade, observe a interpretação geométrica para a média geométrica entre dois números reais a e b