Racionalização: Denominadores

Maria Ângela de Camargo, Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação

Desde a época de Euclides (séc. 3 a.C.), sabemos que as operações aritméticas tinham uma conotação geométrica. Operar dois números reais a e b era equivalente a obter elementos geométricos resultante da composição de dois segmentos de medidas a e b:

  • Soma



 

 

  • Subtração





  • Produto

 


 

 

  • Quociente, uma aplicação do teorema de Tales

 

 

 




  • Média aritmética entre dois números (mediatriz de um segmento)





  • Produto notável: quadrado da soma

  •  

 

 

 












  • Produto notável: diferença entre quadrados

     


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Muito antes disso, na época de Pitágoras (séc. 6 a.C.), já se sabia da existência de grandezas incomensuráveis (ou, como dizemos hoje, dos números irracionais), isto é, que não podiam ser representados pelo quociente da divisão entre dois números racionais. É provável que as primeiras grandezas incomensuráveis conhecidas tenham sido o lado e a diagonal do quadrado e do pentágono.

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Se a representação de a já apresentava dificuldades conceituais, uma vez que não há racionais m e n tais que m/n = a , como seriam representados os números X a , ou X a 3 , ou ainda X a + b ?


Essa questão é conhecida como a crise dos incomensuráveis, e veio a ser resolvida por dois discípulos de Platão, Eudoxo de Cnido e Teeteto de Atenas (todos do séc 5 a.C), que apresentaram um novo método de proporções e que veio a se tornar o Método da Exaustão. Isso permitiu demonstrar teoremas com bom nível de rigor para a época.

Racionalizar

A questão da divisão por um número irracional se resolve, algebricamente, pela técnica da racionalização dos denominadores. Sendo a, b e x números racionais,

X a = X a · a a = X · a a X a 3 = X a 3 · a 2 3 a 2 3 = X · a 2 3 a X a + b = X a + b · a - b a - b = X · ( a - b ) a 2 - b .


Observe que, geometricamente, podemos representar 1 2 como 1 2 · 2 2 = 2 2:


 

 

 

 

 

A racionalização facilita a representação geométrica, mas o segmento obtido não deixa de ser irracional.


Como curiosidade, observe a interpretação geométrica para a média geométrica entre dois números reais a e b

  • Média geométrica (uma relação métrica no triângulo retângulo)

 

 

 

 

Maria Ângela de Camargo, Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação é professora de matemática do Colégio Ítaca.

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