Relações de Girard: Soma e produto de raízes de uma equação

Carlos Alberto Campagner, Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação

Você sabia que a partir das "raízes" (resultados) das equações de segundo grau é possível "montar" a equação? Se você tiver apenas as raízes (x1 e x2), você consegue encontrar qual equação poderia ter esses resultados, graças às relações que as raízes guardam com os coeficientes da equação de 2º grau.

Soma das raízes

A primeira relação importante de se destacar é esta:

x 1 + x 2 = - b a

Em que x1 e x2 são as duas raízes da equação, b e a são os coeficientes dela, segundo a fórmula de Bhaskara:

Veja sua comprovação. Comece relembrando a fórmula de Bhaskara:

x = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

Logo as raízes são:

x 1 = - b + b 2 - 4 a c 2 a

e

x 2 = - b - b 2 - 4 a c 2 a

Para simplificar daqui para diante vamos adotar a seguinte notação:

Δ = b 2 - 4 a c

Logo:

x 1 = - b + Δ 2 a x 2 = - b - Δ 2 a

Veja as raízes somadas:

x 1 + x 2 = - b + Δ 2 a + - b - Δ 2 a

Como denominador é o mesmo fica:

x 1 + x 2 = - b + Δ - b - Δ 2 a = - 2 b 2 a

Produto das raízes

x 1 · x 2 = c a

Veja como essa relação se comprova:

x 1 · x 2 = - b + Δ 2 a · - b - Δ 2 a x 1 · x 2 = ( - b + Δ ) · - b - Δ 4 a 2

Lembra-se dos produtos notáveis?

A multiplicação de uma soma por uma diferença resulta no quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo, então:

x 1 · x 2 = b 2 - ( Δ ) 2 4 a 2 = b 2 - Δ 4 a 2

Como

Δ = b 2 - 4 a c

então

x 1 · x 2 = b 2 - b 2 - 4 a c 4 a 2 = b 2 - b 2 + 4 a c 4 a 2 = 4 a c 4 a 2

Simplificando o 4 e o a:

Essas relações foram definidas pelo matemático Albert Girard (1590-1639).

Recuperando uma equação a partir das raízes

Dadas uma equação de segundo grau de raízes 4 e 9, qual seria uma equação possível? Relembre que a fórmula geral de uma equação de segundo grau é ax2 + bx + c = 0.

De:

x 1 + x 2 = - b a

com

x 1 = 4 x 2 = 9 e a = 1
4 + 9 = - b 1 - b = 1 3 b = - 1 3

e

x 1 · x 2 = c a 4 · 9 = c 1 c = 3 6

Logo, tem-se a equação:

x 2 - 1 3 x + 3 6 = 0

 

Carlos Alberto Campagner, Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação é engenheiro mecânico, com mestrado em mecânica, professor de pós-graduação e consultor de informática.

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