Relações de Girard - Soma e produto de raízes de uma equação

Carlos Alberto Campagner, Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação

Você sabia que a partir das "raízes" (resultados) das equações de segundo grau é possível "montar" a equação? Se você tiver apenas as raízes (x₁ e x₂), você consegue encontrar qual equação poderia ter esses resultados, graças às relações que as raízes guardam com os coeficientes da equação de 2º grau.

Soma das raízes

A primeira relação importante de se destacar é esta:

$x_{1} + x_{2} = \frac{- b}{a}$

x_{1} + x_{2} = \frac{- b}{a}

Em que x₁ e x₂ são as duas raízes da equação, b e a são os coeficientes dela, segundo a fórmula de Bhaskara:

Veja sua comprovação. Comece relembrando a fórmula de Bhaskara:

$x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

Logo as raízes são:

$x_{1} = \frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

x_{1} = \frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

$x_{2} = \frac{- b - \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

x_{2} = \frac{- b - \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

Para simplificar daqui para diante vamos adotar a seguinte notação:

$Δ = b^{2} - 4 a c$

Δ = b^{2} - 4 a c

Logo:

$x_{1} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}$ $x_{2} = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}$

x_{1} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

x_{2} = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

Veja as raízes somadas:

${x_{1} + x}_{2} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a} + \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}$

{x_{1} + x}_{2} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a} + \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

Como denominador é o mesmo fica:

${x_{1} + x}_{2} = \frac{- b + \sqrt{Δ} - b - \sqrt{Δ}}{2 a} = \frac{- 2 b}{2 a}$

{x_{1} + x}_{2} = \frac{- b + \sqrt{Δ} - b - \sqrt{Δ}}{2 a} = \frac{- 2 b}{2 a}

Produto das raízes

${x_{1} \cdot x}_{2} = \frac{c}{a}$

{x_{1} \cdot x}_{2} = \frac{c}{a}

Veja como essa relação se comprova:

${x_{1} \cdot x}_{2} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a} \cdot \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}$ ${x_{1} \cdot x}_{2} = \frac{(- b + \sqrt{Δ}) \cdot (- b - \sqrt{Δ})}{4 a^{2}}$

{x_{1} \cdot x}_{2} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a} \cdot \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

{x_{1} \cdot x}_{2} = \frac{(- b + \sqrt{Δ}) \cdot (- b - \sqrt{Δ})}{4 a^{2}}

Lembra-se dos produtos notáveis?

A multiplicação de uma soma por uma diferença resulta no quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo, então:

${x_{1} \cdot x}_{2} = \frac{b^{2} - (\sqrt{Δ})^{2}}{4 a^{2}} = \frac{b^{2} - Δ}{4 a^{2}}$

{x_{1} \cdot x}_{2} = \frac{b^{2} - (\sqrt{Δ})^{2}}{4 a^{2}} = \frac{b^{2} - Δ}{4 a^{2}}

Como

$Δ = b^{2} - 4 a c$

Δ = b^{2} - 4 a c

então

$x_{1} \cdot x_{2} = \frac{b^{2} - (b^{2} - 4 a c)}{4 a^{2}} = \frac{b^{2} - b^{2} + 4 a c}{4 a^{2}} = \frac{4 a c}{4 a^{2}}$

x_{1} \cdot x_{2} = \frac{b^{2} - (b^{2} - 4 a c)}{4 a^{2}} = \frac{b^{2} - b^{2} + 4 a c}{4 a^{2}} = \frac{4 a c}{4 a^{2}}

Simplificando o 4 e o a:

Essas relações foram definidas pelo matemático Albert Girard (1590-1639).

Recuperando uma equação a partir das raízes

Dadas uma equação de segundo grau de raízes 4 e 9, qual seria uma equação possível? Relembre que a fórmula geral de uma equação de segundo grau é ax² + bx + c = 0.

De:

$x_{1} + x_{2} = \frac{- b}{a}$

x_{1} + x_{2} = \frac{- b}{a}

com

$x_{1} = 4$ $x_{2} = 9$ e $a = 1$

x_{1} = 4

x_{2} = 9

a = 1

$4 + 9 = \frac{- b}{1}$ $- b = 13$ $b = - 13$

4 + 9 = \frac{- b}{1}

- b = 13

b = - 13

$x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a}$ $4 \cdot 9 = \frac{c}{1}$ $c = 36$

x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a}

4 \cdot 9 = \frac{c}{1}

c = 36

Logo, tem-se a equação:

$x^{2} - 13 x + 36 = 0$

x^{2} - 13 x + 36 = 0

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