Sistema de equações do 2° grau - Como resolver

Carlos Alberto Campagner, Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação

Para resolver sistemas de equações do 2º grau, é importante dominar as técnicas de resolução de sistema de 1º grau: método da adição e método da substituição.

Imagine o seguinte problema: dois irmãos possuem idades cuja soma é 10 e a multiplicação 16. Qual a idade de cada irmão?

Equacionando:

${\begin{matrix} x + y = 10 \\ x \cdot y = 16 \end{matrix}$

{\begin{matrix} x + y = 10 \\ x \cdot y = 16 \end{matrix}

Pela primeira equação, que vamos chamar de I:

$x = 10 - y$

x = 10 - y

Substituindo na segunda:

$y = (10 - y) = 16$

y = (10 - y) = 16

Logo:

$10 y - y^{2} = 16 \to 10 y - y^{2} - 16 = 0 \to y^{2} - 10 y + 16$

10 y - y^{2} = 16 \to 10 y - y^{2} - 16 = 0 \to y^{2} - 10 y + 16

Usando a fórmula:

$y = \frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 16}}{2} = \frac{10 \pm \sqrt{36}}{2}$

y = \frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 16}}{2} = \frac{10 \pm \sqrt{36}}{2}

Logo

$y_{1} = \frac{10 + 6}{2} = \frac{16}{2} = 8$

y_{1} = \frac{10 + 6}{2} = \frac{16}{2} = 8

$y_{2} = \frac{10 - 6}{2} = \frac{4}{2} = 2$

y_{2} = \frac{10 - 6}{2} = \frac{4}{2} = 2

Substituindo em I:

$x_{1} = 10 - y_{1} \to x_{1} = 10 - 8 \to x_{1} = 2$

x_{1} = 10 - y_{1} \to x_{1} = 10 - 8 \to x_{1} = 2

$x^{2} = 10 - y_{2} \to x_{2} = 10 - 2 \to x_{2} = 8$

x^{2} = 10 - y_{2} \to x_{2} = 10 - 2 \to x_{2} = 8

As idades dos dois irmãos são, respectivamente, de 2 e 8 anos. Testando:
a multiplicação de 2 X 8 = 16 e a soma 2 + 8 = 10.

Outro exemplo

Encontre dois números cuja diferença seja 5 e a soma dos quadrados seja 13.

${\begin{matrix} x - y = 5 \\ x^{2} + y^{2} = 13 \end{matrix}$

{\begin{matrix} x - y = 5 \\ x^{2} + y^{2} = 13 \end{matrix}

Da primeira, que vamos chamar de II:

$x - y = 5 \to x = 5 + y$

x - y = 5 \to x = 5 + y

Aplicando na segunda:

$x^{2} + y^{2} = 13$

x^{2} + y^{2} = 13

${(5 + y)}^{2} + y^{2} = 13$

{(5 + y)}^{2} + y^{2} = 13

De Produtos notáveis:

$25 + 10 y + y^{2} + y^{2} = 13$

25 + 10 y + y^{2} + y^{2} = 13

$2 y^{2} + 10 y + 25 - 13 = 0 \to 2 y^{2} + 10 y + 12 = 0$

2 y^{2} + 10 y + 25 - 13 = 0 \to 2 y^{2} + 10 y + 12 = 0

Dividindo por 2:

$y^{2} + 5 y + 6 = 0$

y^{2} + 5 y + 6 = 0

$y = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2} = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} = \frac{- 5 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{- 5 \pm 1}{2}$

y = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2} = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} = \frac{- 5 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{- 5 \pm 1}{2}

Logo:

$y_{1} = \frac{- 6}{2} = - 3$

y_{1} = \frac{- 6}{2} = - 3

Substituindo em II:

$x_{1} = y_{1} + 5 \to x_{1} = - 3 + 5 = 2$

x_{1} = y_{1} + 5 \to x_{1} = - 3 + 5 = 2

$y_{2} = \frac{- 4}{2} = - 2$

y_{2} = \frac{- 4}{2} = - 2

Substituindo em II:

$x_{2} = y_{2} + 5 \to x_{2} = - 2 + 5 = 3$

x_{2} = y_{2} + 5 \to x_{2} = - 2 + 5 = 3

Os números são 3 e - 2 ou 2 e - 3.

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