Sistema de equações do 2° grau: Como resolver

Carlos Alberto Campagner, Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação

Para resolver sistemas de equações do 2º grau, é importante dominar as técnicas de resolução de sistema de 1º grau: método da adição e método da substituição.

Imagine o seguinte problema: dois irmãos possuem idades cuja soma é 10 e a multiplicação 16. Qual a idade de cada irmão?

Equacionando:

{ x + y = 1 0 x · y = 1 6

Pela primeira equação, que vamos chamar de I:

x = 1 0 - y

Substituindo na segunda:

y = ( 1 0 - y ) = 1 6

Logo:

1 0 y - y 2 = 1 6 1 0 y - y 2 - 1 6 = 0 y 2 - 1 0 y + 1 6

Usando a fórmula:

y = + 1 0 ± 1 0 0 - 4 · 1 6 2 = 1 0 ± 3 6 2

Logo

y 1 = 1 0 + 6 2 = 1 6 2 = 8
y 2 = 1 0 - 6 2 = 4 2 = 2

Substituindo em I:

x 1 = 1 0 - y 1 x 1 = 1 0 - 8 x 1 = 2
x 2 = 1 0 - y 2 x 2 = 1 0 - 2 x 2 = 8

As idades dos dois irmãos são, respectivamente, de 2 e 8 anos. Testando:
a multiplicação de 2 X 8 = 16 e a soma 2 + 8 = 10.

Outro exemplo

Encontre dois números cuja diferença seja 5 e a soma dos quadrados seja 13.

{ x - y = 5 x 2 + y 2 = 1 3

Da primeira, que vamos chamar de II:

x - y = 5 x = 5 + y

Aplicando na segunda:

x 2 + y 2 = 1 3
5 + y 2 + y 2 = 1 3

De Produtos notáveis:

2 5 + 1 0 y + y 2 + y 2 = 1 3
2 y 2 + 1 0 y + 2 5 - 1 3 = 0 2 y 2 + 1 0 y + 1 2 = 0

Dividindo por 2:

y 2 + 5 y + 6 = 0
y = - 5 ± 2 5 - 4 · 1 · 6 2 = - 5 ± 2 5 - 2 4 2 = - 5 ± 1 2 = - 5 ± 1 2

Logo:

y 1 = - 6 2 = - 3

Substituindo em II:

x 1 = y 1 + 5 x 1 = - 3 + 5 = 2
y 2 = - 4 2 = - 2

Substituindo em II:

x 2 = y 2 + 5 x 2 = - 2 + 5 = 3

Os números são 3 e - 2 ou 2 e - 3.

Carlos Alberto Campagner, Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação é engenheiro mecânico, com mestrado em mecânica, professor de pós-graduação e consultor de informática.

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