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Matemática

Fração e álgebra

Regra da divisão de frações

Antonio Rodrigues Neto*
Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação
A álgebra pode ser aplicada na interpretação das regras de cálculo, e uma boa ilustração para isso é a sua utilização no caso em que é necessário dividir duas frações. Uma das estratégias que a álgebra nos oferece é a de representar qualquer número por um símbolo. Geralmente, usamos uma letra - e não faltarão problemas e desafios.

Em nossa experiência, que será a de descobrir o valor da divisão entre duas frações, indicaremos o resultado com a letra "y". Então, qual deverá ser o valor de dois terços dividido por quatro quintos? Traduzimos esse problema com o princípio algébrico que acabamos de comentar:

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Podemos realizar manobras matemáticas em função de algumas propriedades bastante conhecidas, como a : b = c a = b x c.

Se você tiver dúvidas sobre essa propriedade da divisão, utilize um recurso numérico e faça 12 : 3 = 4, verificando que 12 = 4 x 3. Verificada essa propriedade, damos o primeiro passo para a resolução da nossa pequena equação:

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A operação de multiplicar uma fração por um número qualquer pode ser reescrita com esse número, multiplicando somente o numerador dessa fração. Essa propriedade pode ser facilmente demonstrada a partir também de um exemplo numérico, como o que está indicado abaixo:

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Assim, com essa propriedade podemos continuar a resolução:

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Nessa parte, recorremos ao conceito de equivalência entre duas frações, com a propriedade de multiplicarmos o numerador de uma pelo denominador da outra, obtendo o mesmo resultado. É mais uma propriedade que pode ser demonstrada numericamente. E, para facilitar, podemos imaginar duas frações equivalentes, como, por exemplo, 3/4 e 6/8 de uma mesma barra de chocolate:

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Essa propriedade, somada ao que já foi apresentado neste texto, conduz à etapa final do nosso problema de acharmos o valor de "y":

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Observando o valor de "y", que acabou de ser calculado (a conseqüência da operação da divisão de 2/3 por 4/5), poderemos interpretar melhor a regra de cálculo para a divisão entre duas frações, sempre apresentada nos livros de matemática.

A regra para dividirmos duas frações é definida como a multiplicação dessas frações invertendo a fração que ocupa a posição do divisor. Algebricamente, pode ser escrita como:

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A nossa experiência de dividirmos dois terços por quatro quintos permite que essa regra seja lida e interpretada com mais significado. E, ao mesmo tempo em que verificamos a aplicabilidade da regra, interpretamos e deduzimos os caminhos que a constroem.

Perceba que a regra apenas otimiza o que foi desenvolvido anteriormente. Ela é mais fácil de ser aplicada, mas é essencial ter pelo menos a noção da sua construção:

  • Regra:

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  • Caminho da construção da regra:

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    Estudar regras pode ser um desafio se tivermos um planejamento para aproveitar esse estudo, aplicando-o em outros conteúdos. No caso deste nosso desafio, de entendermos a construção da regra para dividirmos duas frações, utilizamos os princípios algébricos aplicados às equações. É, sem dúvida, uma forma interessante de estudar, simultaneamente, a fração e a equação, dois importantes temas do conhecimento matemático.
  • *Antonio Rodrigues Neto, professor de matemática no ensino fundamental e superior, é mestre em educação pela USP e autor do livro "Geometria e Estética: experiências com o jogo de xadrez" (Editora da UNESP).
    Os textos publicados antes de 1º de janeiro de 2009 não seguem o novo Acordo Ortográfico da Língua Portuguesa. A grafia vigente até então e a da reforma ortográfica serão aceitas até 2012

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