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Matemática

Conjuntos - Operações

Relações de pertinência e inclusão

Michele Viana Debus de França*
Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação
Conjunto é o agrupamento de elementos com características comuns.

O nome de um conjunto sempre é dado por uma letra maiúscula do nosso alfabeto.

As principais formas de representação de um conjunto são:

  • por extenso: A = {0, 1, 3};
  • por descrição: P = {x | x é par};
  • por diagrama de Venn-Euler:

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    Um conjunto pode ter um número finito de elementos (conjunto finito), como o conjunto A ou o conjunto D acima, ou pode ser formado por infinitos elementos (conjunto infinito), como o conjunto P acima ou um conjunto numérico.

    Além disso, um conjunto pode ser unitário, quando possui apenas um elemento:

    Y = {x | x é par e é primo} = {2}.

    Ou pode ser vazio, caso não haja nenhum elemento com a característica procurada:

    W = {x | x é par e ímpar}.

    Há ainda, na resolução de problemas e equações, o conjunto que deve conter todas as soluções possíveis, o conjunto universo.

    Relações de Pertinência e Inclusão

    Quando um elemento está em um conjunto, dizemos que ele pertence a esse conjunto. Exemplos:

    F = {0, 2, 4, 6, 8, ...}

    - lê-se: 2 pertence a F.
    - lê-se: 3 não pertence a F.

    Já entre conjuntos, é errado usar a relação de pertinência. Assim, utilizamos as relações de inclusão.

    G = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}

    - lê-se: F está contido em G.
    - lê-se: G não está contido em F.
    - lê-se: G contém F.

    As principais operações com conjuntos são:
  • União

    Exemplo: dados A = {0, 1, 2, 3} e B = {2, 3, 4, 5}, a união é o conjunto formado pela reunião dos elementos de A e de B.

    Representação: A B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}.
  • Diferença

    Exemplo: dados A = {0, 1, 2, 3} e B = {2, 3, 4, 5}, a diferença entre A e B é o conjunto formado pelos elementos exclusivos de A, isto é, retira-se de A o que for comum com B.

    Representação: A - B = {0, 1}.

    CUIDADO: há um engano muito comum nessa operação, que é pensar em todos os elementos que aparecem, menos os repetidos, ou seja, achar que a diferença seria dada, nesse exemplo, por {0, 1, 4, 5}.
  • Intersecção
    Exemplo: dados A = {0, 1, 2, 3} e B = {2, 3, 4, 5}, a intersecção é o conjunto formado pelos elementos comuns de A e B, isto é, pelos elementos "repetidos".

    Representação: A B = { 2, 3}.
  • Produto Cartesiano
    Exemplo: dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {3, 4, 5}, o produto cartesiano de A por B é o conjunto formado por todos os pares possíveis formados com os elementos de A e de B. Esses pares são chamados de ordenados, pois cada um é formado por um elemento de A e um elemento de B, nessa ordem.

    Representação:

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    ou

    Página 3


    ou ainda no Plano Cartesiano:

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  • Complementar

    É uma modalidade de diferença de conjuntos, que ocorre quando um conjunto está contido em outro.

    Exemplo: dados A = {0, 1, 2, 3} e B = {2, 3}, o complementar de B em A é a diferença A - B.

    Representação: CAB = A - B = {0, 1}.

    Já o complementar de A em B é a diferença B - A.

    Representação: CBA = B - A= { }.

    Cardinalidade

    Cardinalidade é o número de elementos do conjunto.

    Representação:

    n(A) = 3 - (o número de elementos do conjunto A = {0, 1, 3} é 3)

    Cardinalidade da união:

    n(A B) = n(A) + n(B) - n(A " B)

    O número de elementos da união de dois conjuntos é igual à soma do número de elementos de cada conjunto, menos a quantidade de elementos repetidos.
  • *Michele Viana Debus de França é licenciada em matemática pela USP e mestre em educação matemática pela PUC-SP.
    Os textos publicados antes de 1º de janeiro de 2009 não seguem o novo Acordo Ortográfico da Língua Portuguesa. A grafia vigente até então e a da reforma ortográfica serão aceitas até 2012

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