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Matemática

Denominador comum

Como encontrar o denominador comum?

Antonio Rodrigues Neto*
Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação
Página 3

Comer um quarto (1/4) de uma pizza é o mesmo que comer dois oitavos (2/8)?

O que é um denominador comum? Em perguntas simples como essa podemos aprender matemática, principalmente no que se refere aos conceitos fundamentais dessa disciplina.

Para entendermos o denominador comum não podemos ter dúvida de que a fração é uma relação simultânea entre o denominador e o numerador.

O denominador é o termo da fração que indica o número de partes em que será dividida uma determinada quantidade, enquanto que o numerador é o número de partes que usaremos dessa quantidade que acabou de ser dividida.

Assim, a fração é um número construído a partir da razão do numerador pelo denominador.

É a partir dessa razão entre numerador e denominador que podemos perceber que as frações aparentemente diferentes possibilitam o mesmo resultado. Isto porque a razão de um por quatro é o mesmo que a razão de dois por oito.

Comer um quarto (1/4) de uma pizza é o mesmo que comer dois oitavos (2/8); em outras palavras, dividir uma pizza em oito e pegar dois pedaços é equivalente a dividir em quatro e pegar um. É a partir desse princípio que podemos compreender a construção de um denominador comum.

Solucionando problemas

O denominador comum aparece a partir da necessidade de somarmos ou subtrairmos frações em determinados problemas de cálculo em que são usadas frações com denominadores diferentes. Carlos recebe o salário de R$ 3.600,00 e gasta um quarto (1/4) com aluguel e dois terços (2/3) com alimentação. Considerando somente esses dois itens, quanto sobrará do salário de Carlos para outros gastos?

O problema pode ser resolvido calculando 1/4 de 3.600,00 reais, que é igual a 900,00 reais, e 2/3 de 3.600,00, que é igual a 2.400,00, dando um total de 3.300,00 reais. Carlos não terá uma sobra que dê folga para outros gastos.

No entanto, o problema pode ser resolvido de uma outra forma, que não ajudará na situação de Carlos, mas poderá facilitar o cálculo. Em vez de calcularmos separadamente a fração do aluguel e da alimentação, para depois somar, podemos somar essas duas frações e, com o resultado dessa soma, calcular o gasto total:

1/4 de 3.600,00 + 2/3 de 3.600,00 = (1/4 + 2/3) de 3.600,00

Denominadores diferentes

Como somar frações com denominadores diferentes? Bom, primeiro, explorando a adição em uma situação em que os denominadores são iguais. Para isso, o exemplo da pizza mais uma vez é oportuno.

Em uma mesa com três pessoas é distribuída, em uma rodada, um pedaço de pizza para cada uma. Se a pizza for dividida em oito pedaços, como é de costume, é obvio que a quantidade distribuída será de 3/8 da pizza, podendo ser escrito como 1/8 +1/8 +1/8, referente ao que cada um recebeu.

No entanto, o problema pode mudar se um dos três resolver somar ao seu prato a metade de um pedaço. Qual a fração total que ele estaria consumindo?

Se o pedaço não fosse cortado pela metade, a resposta seria 2/8, no entanto, como a metade de um oitavo é um dezesseis avos, teremos a soma de 1/8 (o pedaço que já está no prato) com 1/16.

A estratégia para a resolução é imaginarmos essa pizza, inicialmente, sendo dividida em 16 partes, em vez de oito. Assim, 1/8 da pizza pode ser interpretado como 2/16, permitindo a soma de 2/16 + 1/16, dando a resposta de que no prato há 3 pedaços de uma pizza que foi dividida em 16 partes, isto é 3/16.

Encontrando o denominador comum

A transformação de 1/8 em 2/16 fez com que os denominadores ficassem comuns, possibilitando a soma. Na verdade, achar o denominador comum das frações é achar as frações equivalentes dessas frações com o mesmo denominador para, dessa forma, possibilitar a soma ou subtração com esse tipo de número.

No caso dos gastos de Carlos, temos que descobrir as frações equivalentes respectivas a 1/4 e a 2/3, com a condição de terem o mesmo denominador. Como?

Vou optar em dividir ou multiplicar o numerador e o denominador por um mesmo número. Vimos que a fração 2/8 é equivalente a 1/4 e que ela pode ser calculada multiplicando tanto o numerador como o denominador por 2.

Dessa forma, se aplicarmos o mesmo procedimento, mas multiplicando por 3, obteremos 3/12, que pode substituir 1/4. Para o caso de 2/3 obtemos 4/6, 6/9 e, por fim, 8/12, que possui o mesmo denominador de 3/12 (equivalente de 1/4).

Finalmente, fazemos a soma substituindo as frações com denominadores diferentes pelas respectivas frações equivalentes com denominador 12:

(1/4 + 2/3) de 3.600,00 = (3/12 + 8/12) de 3.600,00 = 11/12 de 3.600,00

Assim, 11/12 de 3.600,00 é repartir 3.600,00 em 12 partes, utilizando 11, que é igual a 3.300,00, dando o mesmo valor quando aplicamos as frações, sem nos preocuparmos com o denominador comum. Se, em vez de somar, fosse necessário subtrair frações com denominadores diferentes, o método seria o mesmo.
*Antonio Rodrigues Neto, professor de matemática no ensino fundamental e superior, é mestre em educação pela USP e autor do livro "Geometria e Estética: experiências com o jogo de xadrez" pela Editora da UNESP.
Os textos publicados antes de 1º de janeiro de 2009 não seguem o novo Acordo Ortográfico da Língua Portuguesa. A grafia vigente até então e a da reforma ortográfica serão aceitas até 2012

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