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Matemática

Equações exponenciais (2)

Formas de resolução

Michele Viana Debus de França*
Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação
Veja as equações, no universo dos reais:

1)

Essa equação (de 1o grau) fica resolvida quando "isolamos" a incógnita x. Assim:

Página 3

2)

Já essa equação (de 2o grau) é resolvida, entre outras formas, pela fórmula resolutiva de equação do 2o grau, ou fórmula de Bhaskara:

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3)

Nesse caso, não é possível nem isolar a incógnita - pois x é o expoente -, nem utilizar uma fórmula resolutiva.

A idéia aqui é: o 3 deve ser elevado a qual expoente para resultar em 81?

A resposta é 4. Ou porque sabemos que , ou porque, fatorando 81, obtemos
Mas nem sempre é possível pensar assim e obter o valor da incógnita de imediato. Tente desenvolver o mesmo raciocínio na equação
Equações que apresentam a incógnita no expoente são chamadas de equações exponenciais.

De forma prática, existem duas tentativas possíveis de resolução:

1a) Escrever os dois membros da equação na mesma base, usando fatoração ou propriedades das potências, dependendo do caso:

a)
Como se trata de uma igualdade e as bases são iguais nos dois membros (3), podemos trabalhar apenas com os expoentes:

Página 3


b)
Aqui devemos nos lembrar de algumas das propriedades das potências:

Página 3

Assim:

Página 3

2a) Usar substituição
a) Nesse caso, percebemos não ser possível escrever os dois membros da igualdade na base que está elevada a x (base 3), pois 12 não pode ser fatorado só na base 3 e, além disso, não existe uma propriedade das potências que reduza a subtração de potências de mesma base a uma só potência
Observe, então, a estratégia:
Utilizaremos outra propriedade das potências

Página 3

Agora substituiremos por uma variável qualquer (y, por exemplo):

Página 3

E teremos apenas que resolver uma equação do 2o grau!

Página 3

Mas ainda devemos voltar à substituição , pois o objetivo era determinar a incógnita x:

para ,

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e para ,

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b) (UFRGS - adaptada)

Vamos usar a propriedade , só que "ao contrário", ou seja:

Página 3

Agora a substituição :

Página 3

Note que também foi usada outra propriedade das potências: . E agora é só resolver a equação de 1o grau!

Página 3


Como , temos:

Página 3
*Michele Viana Debus de França é licenciada em matemática pela USP e mestre em educação matemática pela PUC-SP.
Os textos publicados antes de 1º de janeiro de 2009 não seguem o novo Acordo Ortográfico da Língua Portuguesa. A grafia vigente até então e a da reforma ortográfica serão aceitas até 2012

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