Veja as equações, no universo dos reais:
1)
Essa equação (de 1
o grau) fica resolvida quando "isolamos" a incógnita
x. Assim:
2)
Já essa equação (de 2
o grau) é resolvida, entre outras formas, pela fórmula resolutiva de equação do 2
o grau, ou fórmula de Bhaskara:
3)
Nesse caso, não é possível nem isolar a incógnita - pois x é o expoente -, nem utilizar uma fórmula resolutiva.
A idéia aqui é: o 3 deve ser elevado a qual expoente para resultar em 81?
A resposta é 4. Ou porque sabemos que
, ou porque, fatorando 81, obtemos
Mas nem sempre é possível pensar assim e obter o valor da incógnita de imediato. Tente desenvolver o mesmo raciocínio na equação
Equações que apresentam a incógnita no expoente são chamadas de
equações exponenciais.
De forma prática, existem duas tentativas possíveis de resolução:
1
a) Escrever os dois membros da equação na mesma base, usando fatoração ou propriedades das potências, dependendo do caso:
a)
Como se trata de uma igualdade e as bases são iguais nos dois membros (3), podemos trabalhar apenas com os expoentes:
b)
Aqui devemos nos lembrar de algumas das propriedades das potências:
Assim:
2
a) Usar substituição
a)
Nesse caso, percebemos não ser possível escrever os dois membros da igualdade na base que está elevada a x (base 3), pois 12 não pode ser fatorado só na base 3 e, além disso, não existe uma propriedade das potências que reduza a subtração de potências de mesma base a uma só potência
Observe, então, a estratégia:
Utilizaremos outra propriedade das potências
Agora substituiremos por uma variável qualquer (y, por exemplo):
E teremos apenas que resolver uma equação do 2
o grau!
Mas ainda devemos voltar à substituição
, pois o objetivo era determinar a incógnita x:
para
,
e para
,
b) (UFRGS - adaptada)
Vamos usar a propriedade
, só que "ao contrário", ou seja:
Agora a substituição
:
Note que também foi usada outra propriedade das potências:
. E agora é só resolver a equação de 1
o grau!
Como
, temos:
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