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Matemática

Fração geratriz

Como achar a fração geratriz de uma dízima periódica?

Michele Viana Debus de França*
Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação
A fração geratriz é aquela que dá origem a uma dízima periódica.

Aqui, vamos dar dicas de como achar as frações geratrizes de dízimas periódicas simples e compostas, de uma forma bem prática.

Dízimas periódicas simples

a) 0,2222...
Período: 2

Coloca-se o período no numerador da fração e, para cada algarismo dele, coloca-se um algarismo 9 no denominador.




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Nesse caso, temos uma dízima simples e a parte inteira diferente de zero.

Uma estratégia é separar parte inteira e parte decimal:




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Dízimas periódicas compostas

a) 0,27777...
Aqui, a dica é um pouco diferente: para cada algarismo do período ainda se coloca um algarismo 9 no denominador. Mas, agora, para cada algarismo do antiperíodo se coloca um algarismo zero, também no denominador.

No caso do numerador, faz-se a seguinte conta:
(parte inteira com antiperíodo e período) - (parte inteira com antiperíodo)

Assim:




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b) 1,64444...




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c) 21,308888... (o período tem 1 algarismo e o antiperíodo tem 2 algarismos)




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d) 2,4732121212... (o período tem 2 algarismos e o antiperíodo tem 3 algarismos)




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Por que dá certo?

Veja a explicação na forma como geralmente se aprende a achar a fração geratriz na escola:

Chama-se a fração geratriz de x:




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Para achar o valor de x, encontram-se múltiplos dele com apenas o período na parte decimal




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E subtraem-se as duas igualdades




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Assim, cria-se uma equação e elimina-se a parte infinita dos números envolvidos, achando-se a fração geratriz.

Note que, no método mais prático, a conta sugerida é a mesma que aparece na equação: 164 - 16, e o denominador fica exatamente com os mesmos algarismos.

No caso do exemplo D, deve-se multiplicar x por números ainda maiores, para se achar a mesma parte decimal nos dois números a serem subtraídos:




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*Michele Viana Debus de França é licenciada em matemática pela USP e mestre em educação matemática pela PUC-SP.
Os textos publicados antes de 1º de janeiro de 2009 não seguem o novo Acordo Ortográfico da Língua Portuguesa. A grafia vigente até então e a da reforma ortográfica serão aceitas até 2012

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