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Matemática

História da geometria (2)

Evolução do pensamento geométrico

Maria Ângela de Camargo*
Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação
A geometria euclidiana diz que retas paralelas nunca se interceptam, como descreve o quarto postulado de Euclides. Essa afirmação trouxe inúmeras dificuldades aos matemáticos e gerou polêmica desde a época de sua proposição. Muitos matemáticos tentaram evitar a sua utilização - e até negá-lo!

Foi necessário esperar até o século 19 para que matemáticos como Legendre, Gauss, Boylai, Riemann e Lobachevski demonstrassem a sua validade. No entanto, eles descobriram que ao suprimir o quinto postulado, outras geometrias são possíveis!

A partir do século 19 se desenvolveram sistemas axiomáticos mais adequados à crescente exigência de rigor matemático. O sistema mais difundido e aceito é o que foi publicado por David Hilbert (1862-1943), matemático e filósofo alemão. Sua obra "Fundamentos da Geometria" (1899) está entre as maiores contribuições à Matemática do século 20.

O tratamento axiomático da geometria atual necessita de três objetos primitivos, que não necessitam ser definidos: ponto, reta e plano. Para expressar relações, três termos primitivos: pertence, entre e congruente. O sistema axiomático de Hilbert apresenta cinco grupos de axiomas: (a) pertinência; (b) ordem; (c) congruência; (d) paralelismo; (e) continuidade e completividade linear. Não diferencia axiomas e postulados, e não inclui definições.

para Euclides
  • ponto é o que não tem partes, o que não tem grandeza alguma.
  • reta é o comprimento sem largura
  • plano é o que tem comprimento e largura.

para Hilbert
  • ponto, reta e plano são elementos considerados primitivos, são aceitos sem demonstração, não necessitam de definição.



Vemos que a matemática é generosa: segundo Henri Poincaré, uma geometria não é mais verdadeira do que a outra, pode ser apenas mais conveniente.

Quem quiser observar objetos geométricos não-euclidianos pode se maravilhar com a obra de um artista genial como o holandês Mauritz Escher, que se vê a seguir:



* Maria Ângela de Camargo é professora de matemática do Colégio Ítaca.
Os textos publicados antes de 1º de janeiro de 2009 não seguem o novo Acordo Ortográfico da Língua Portuguesa. A grafia vigente até então e a da reforma ortográfica serão aceitas até 2012

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