A
geometria euclidiana diz que retas paralelas nunca se interceptam, como descreve o quarto postulado de Euclides. Essa afirmação trouxe inúmeras dificuldades aos matemáticos e gerou polêmica desde a época de sua proposição. Muitos matemáticos tentaram evitar a sua utilização - e até negá-lo!
Foi necessário esperar até o século 19 para que matemáticos como Legendre, Gauss, Boylai, Riemann e Lobachevski demonstrassem a sua validade. No entanto, eles descobriram que ao suprimir o quinto postulado, outras geometrias são possíveis!
A partir do século 19 se desenvolveram sistemas axiomáticos mais adequados à crescente exigência de rigor matemático. O sistema mais difundido e aceito é o que foi publicado por David Hilbert (1862-1943), matemático e filósofo alemão. Sua obra "Fundamentos da Geometria" (1899) está entre as maiores contribuições à Matemática do século 20.
O tratamento axiomático da geometria atual necessita de três objetos primitivos, que não necessitam ser definidos:
ponto,
reta e
plano. Para expressar relações, três termos primitivos:
pertence,
entre e
congruente. O sistema axiomático de Hilbert apresenta cinco grupos de axiomas: (a) pertinência; (b) ordem; (c) congruência; (d) paralelismo; (e) continuidade e completividade linear. Não diferencia axiomas e postulados, e não inclui definições.
|
para Euclides
- ponto
é o que não tem partes, o que não tem grandeza
alguma.
- reta
é o comprimento sem largura
- plano
é o que tem comprimento e largura.
|
para Hilbert
-
ponto, reta e plano são elementos considerados primitivos,
são aceitos sem demonstração, não necessitam
de definição.
|
Vemos que a matemática é generosa: segundo Henri Poincaré, uma geometria não é mais verdadeira do que a outra, pode ser apenas mais conveniente.
Quem quiser observar objetos geométricos não-euclidianos pode se maravilhar com a obra de um artista genial como o holandês Mauritz Escher, que se vê a seguir:
* Maria Ângela de Camargo é professora de matemática do Colégio Ítaca.
Copyright UOL. Todos os direitos reservados. É permitida a reprodução apenas em trabalhos escolares, sem fins comerciais e desde que com o devido crédito ao UOL e aos autores.
ÍNDICE DE MATEMÁTICA
IMPRIMIR
ENVIAR
COMUNICAR ERRO
Fox 1.0 Pelo
Incrível: NotebookVárias marcas a partir de 
Roteador WirelessInternet sem fio a partir de
WebCamDiversos modelos