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Matemática

Inequação Produto e inequação quociente

Como resolvê-las

Michele Viana Debus de França*
Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação
Vamos lembrar o significado das raízes de uma equação:

Na equação de primeiro grau 2x - 6 = 0, temos que x = 3, ou seja, a raiz da equação vale 3 ou, ainda, o valor de x que torna verdadeira a sentença é 3, pois 2.3 - 6 = 0.

Agora, vamos pensar na inequação, isto é, na desigualdade:

Na inequaçãode primeiro grau 2x - 6 > 0, x = 3 não faz parte dos valores de x que tornam verdadeira a sentença, pois 2.3 -6 = 0 e não maior do que zero, como a inequação propõe.

Os valores de x que satisfazem a desigualdade são x > 3. Por exemplo, x = 3,1 já satisfaz. Além disso, x = 4 ou x = 10 também. Assim, qualquer número maior do que 3 satisfaz a desigualdade.

Por isso, escrevemos a solução da inequaçãoassim:


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(qualquer x maior do que três no conjunto dos reais; lemos: x pertence aos reais, tal que x é maior do que três), no caso do conjunto universo ser o dos reais.

Agora vamos à resolução de inequações.

No caso da inequaçãode primeiro grau, "isola-se" o x como na equação de primeiro grau, observando as propriedades da desigualdade.

Exemplos:


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Assim, nesse último caso, ao multiplicarmos os dois membros da desigualdade por -1, o sinal da desigualdade é invertido, para que a sentença continue verdadeira. Basta observarmos o exemplo 2 < 3. Se multiplicarmos os dois membros por -1, a desigualdade deixa de ser verdadeira (-2 < -3 é falso!), obrigando-nos a inverter o sinal da desigualdade (-2> -3).

Mas existem outros tipos de inequações.

Vejamos dois exemplos:


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No exemplo 1, a primeira idéia que podemos ter para resolver é a de aplicarmos a propriedade distributiva, assim:


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Porém, como resolver a inequaçãodo segundo grau que surgiu?

Será que devemos pensar no caso da inequaçãode primeiro grau, que é resolvida praticamente da mesma forma que equação de primeiro grau (isolando o x), e tentarmos resolver a inequaçãode segundo grau como a equação, aplicando a fórmula de Bhaskara?

Nesse caso, obteríamos os seguintes valores de x:


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Mas, e agora? Como achar a resposta da inequaçãoa partir dos valores encontrados para x? Como a inequaçãoé (x + 5).(- 2x + 4) > 0, poderíamos pensar em x > 2 e x > -5, mas isso não teria muito significado.

Assim, a forma mais correta de resolver as inequaçõespropostas, denominadas, respectivamente, de inequaçãoproduto e inequaçãoquociente, seria pensar da seguinte forma:

  • no exemplo 1, temos o produto de duas expressões e queremos saber para quais valores de x esse produto é estritamente positivo;

  • no exemplo 2, temos o quociente de duas expressões e desejamos saber para quais valores de x esse quociente é negativo ou igual a zero.

    Assim, seria interessante conhecer os sinais dessas expressões, em ambos os casos, pois conhecemos as regras de sinais da multiplicação e da divisão. Conhecendo os sinais dessas expressões, podemos decidir quando o produto ou quociente serão positivos ou negativos.

    Devemos então estudar o sinal das expressões, como se faz com as funções.
    Voltemos aos exemplos:


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    Depois de estudarmos os sinais das duas expressões, devemos analisar o sinal do produto das duas, pois é o que queremos. Assim, devemos colocar as duas funções no mesmo sistema de eixos. Uma forma mais prática e bastante utilizada de se fazer isso é utilizar o quadro de sinais ou "varal".


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    Assim, podemos fazer as regras de sinais, de acordo com o sinal de cada função, antes de -5, entre -5 e 2 e depois de 2.

    Como nos interessa saber quando esse produto é positivo, destacamos o intervalo entre -5 e 2 - utilizando as notações adequadas de intervalos reais - pois foi onde isso aconteceu.
    Logo, a solução dessa inequação é


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    É importante destacar que -5 e 2 não fazem parte da solução, pois são valores onde as funções são nulas, e queremos os valores de x que tornam positivo o produto, não nulo. Isso fica representado no quadro de sinais pelo "buraco" na reta, nesses dois valores. E, na solução, isso fica representado pelo sinal de <, e não .

    Essa inequação poderia também ser resolvida se aplicássemos a propriedade distributiva, mas também por meio do estudo do sinal, nesse caso do estudo do sinal da função de segundo grau.


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    Percebemos que o estudo do sinal revela a mesma solução, ou seja, a função do segundo grau tem as mesmas raízes e os mesmos sinais que o produto das duas funções de primeiro grau estudadas anteriormente. Assim, interessa-nos o intervalo da reta real entre -5 e 2, onde a função é positiva.


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    Sem precisar traçar os gráficos, podemos esboçá-los, conhecendo as raízes e o crescimento de cada uma, olhando para o sinal do coeficiente de x.

    A) coeficiente de x = -1 < 0
    Função decrescente
    Raiz = 2


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    B) coeficiente de x=2 > 0
    Função crescente
    Raiz =


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    Atenção: Não é o sinal da raiz que determina o crescimento ou decrescimento da função, mas o sinal do coeficiente de x. Esse é um erro bem comum! Cuidado!

    Estudados os sinais, vamos ao quadro de sinais:


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    É importante notar: apesar de querermos os valores de x que tornam o quociente negativo ou nulo, não devemos incluir nunca na solução o valor de x que anula o denomidador da fração (a raiz da expressão do denominador), pois não existe fração com denominador nulo. Esse é outro erro comum!

    Logo, a solução é


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  • *Michele Viana Debus de França é licenciada em matemática pela USP e mestre em educação matemática pela PUC-SP.
    Os textos publicados antes de 1º de janeiro de 2009 não seguem o novo Acordo Ortográfico da Língua Portuguesa. A grafia vigente até então e a da reforma ortográfica serão aceitas até 2012

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