Considere a reta real:
Chamamos a distância de um ponto da reta à origem (distância do ponto até o zero) de
módulo ou
valor absoluto.
Assim, a distância do ponto 4 à origem é 4. Dizemos que o módulo de 4 é igual a 4. E representamos
│4│ = 4
Da mesma forma, a distância do ponto -2 à origem é 2, ou seja, o módulo de -2 é 2, pois não há muito sentido em considerarmos distâncias negativas. Assim:
│-2│ = 2
Outros exemplos:
│3│ = 3
│-7│ = 7
│0│ = 0
│-1│ = 1
Vamos generalizar:
Qual é o módulo de um número qualquer x?
│x│ = ?
A resposta é: depende!
Pelos exemplos, podemos observar que, se x for um número positivo, seu módulo é igual a ele mesmo. Porém, se x for um número negativo, a distância não pode ser negativa, logo devemos mudar o sinal desse número, ou considerar o seu oposto (o mesmo número de sinal trocado).
Portanto,
│x│ = x, se x for um número positivo e
│x│ = -x, se x for um número negativo, pois devemos trocar o sinal do número negativo.
Ou:
Propriedades do Módulo1) │a│=│-a│, para todo a realNão é difícil constatar isso. Observe:
│2│= 2
│10│= 10
│-5│= 5
│-2│= 2
│-10│=10
│5│= 5
2) │x2│=│x│2 = x2, para todo x realVerifiquemos isso para todas as possibilidades de valores de x: positivo, nulo ou negativo.
a) para x = 5
5
2 = 25
│5│
2 = 5
2 = 25
│5
2│=│25│= 25
b) para x = 0
0
2 = 0
│0│
2 = 0
2 = 0
│0
2│=│0│= 0
c) para x = -3
(-3)
2 = 9
│-3│
2 = 3
2 = 9
│(-3)
2│=│9│= 9
Associada a essa propriedade está o fato de que
CUIDADO! É errado pensar que
Isso só é verdadeiro para x ≥ 0.
Veja:
Para x = 7
Para x = -2
3) │a . b│=│a│.│b│, para quaisquer a e b reaisVeja:
a) a e b positivos
a = 3 e b = 5
│3 . 5│= │15│= 15
│3│.│5│= 3 . 5 = 15
b) a e b de sinais opostos
a = -2 e b = 4
│-2 . 4│= │-8│= 8
│-2│.│4│= 2 . 4 = 8
c) a e b negativos
a = -7 e b = -10
│-7 . (-10)│= │70│= 70
│-7│.│-10│= 7 . 10 = 70
4) │a + b│≤│a│+│b│, para quaisquer a e b reaisa) a e b positivos
a = 6 e b = 5
│6 + 5│= │11│= 11
│6│+│5│= 6 + 5 = 11
│6 + 5│=│6│+│5│
b) a e b de sinais opostos
a = -5 e b =1
│-5 + 1│= │-4│= 4
│-5│+│1│= 5 + 1 = 6
│-5 + 1│<│-5│+│1│
c) a e b negativos
a = -8 e b = -3
│-8 + (-3)│= │-11│= 11
│-8│+│-3│= 8 + 3 = 11
│-8 + (-3)│= │-8│+│-3│
5)││a│-│b││≤│a - b│, para quaisquer a e b reaisd) a e b positivos
a = 4 e b = 1
││4│-│1││=│4 - 1│= │3│= 3
│4 - 1│= │3│= 3
││4│-│1││=│4 - 1│
e) a e b de sinais opostos
a = -1 e b =9
││-1│-│9││=│1 - 9│= │-8│= 8
│-1 - 9│= │-10│= 10
││-1│-│9││<│-1 - 9│
f) a e b negativos
a = -10 e b = -3
││-10│-│-3││=│10 - 3│= │7│= 7
│-10 - (-3)│= │-7│= 7
││-10│-│-3││=│-10 - (-3)│
g) a e de sinais opostos
a = 4 e b = -3
││4│-│-3││=│4 - 3│= │1│= 1
│4 - (-3)│= │7│= 7
││4│-│-3││<│4 - (-3)│
Além dessas propriedades, não é difícil verificar que
│a - b│=│ b - a│, para quaisquer
a e
b reais.
Exercícios resolvidos
1) Calcular:
a) │6│+ 1 = 6 + 1 = 7
b) │-5│+ 9 = 5 + 9 = 16
c) │-10│- 1 = 10 -1 = 9
d) │-6│- │-2│ = 6 - 2 = 4
e) │0,2 - 0,9│= │-0,7│= 0,7
f)
g) │3 - x│, para x = -3
│3 - x│= │3 - (-3)│= │6│= 6
h)
Note que
. Assim:
2) Escrever uma expressão equivalente sem o módulo:
a) │x - 6│, sendo x um número real qualquer
b) │x - 6│, com x > 6
Como x > 6, a expressão de dentro do módulo é positiva.
Logo, nesse caso, │x - 6│= x - 6.
c) │x - 1│+ │x - 3│, com x > 3
Como x > 3, as duas expressões são positivas.
Logo, nesse caso, │x - 1│+ │x - 3│= x - 1+ x - 3 = 2x - 4.
3) Achar os possíveis valores de x, em cada caso:
a) x = │ - 1│
Resposta: x = 1
b) │x│= 1
Resposta: x = 1 ou x = -1, pois │1│= │-1│= 1
c) │x│= -1
Resposta: x não existe, pois não existe um número tal que seu módulo seja negativo.
d) X
2 = 36
Resposta: x = 6 ou x = -6
e) │x│= │-2│
Resposta: x = -2 ou x = 2, pois │2│= │-2│= 2
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