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Matemática

Paralelismo e ângulos

Congruências entre ângulos determinados por retas transversais

Michele Viana Debus de França*
Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação
Em geometria, alguns conceitos podem ser compreendidos e lembrados sempre, se os associarmos ao significado do nome.

Reconhecer e compreender as relações e, principalmente, as congruências entre ângulos determinados por retas transversais em retas paralelas é importante para a resolução de problemas relacionados a triângulos, quadriláteros e outros polígonos - bem como os próprios problemas com ângulos.

Vejamos alguns conceitos fundamentais que vão ser úteis:

Ângulos opostos pelo vértice:

Na figura, os ângulos marcados com a mesma cor são opostos pelo vértice e possuem a mesma medida, ou seja, são congruentes.
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Ângulos suplementares:

São dois ângulos cuja soma vale 180º.

Na figura acima, sobre a mesma reta, temos um ângulo azul e um ângulo vermelho, cuja soma vale 180º, pois formam um ângulo raso.

Lembrados esses conceitos, vamos estudar as relações entre ângulos determinados por uma transversal em retas paralelas.

Observe a figura abaixo.

As retas r e s são paralelas "cortadas" pela transversal t.

Os ângulos 1, 2, 3 e 4 são os ângulos determinados pela transversal t em r - e os ângulos 5, 6, 7 e 8 são determinados por t em s.

Se "recortássemos" a figura conforme o pontilhado, poderíamos tranquilamente encaixar o pedaço recortado sobre a parte de baixo da figura, ou seja, os ângulos 1, 2, 3 e 4 "encaixariam" perfeitamente sobre os ângulos 5, 6, 7 e 8, nessa ordem:
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Assim, dizemos que esses ângulos são correspondentes e, como podemos perceber, ângulos correspondentes têm a mesma medida.

Como os pares 1 - 4 e 5 - 8 são opostos pelo vértice e 1 - 5 e 4 - 8 são correspondentes, todos eles têm a mesma medida.

Pelo mesmo motivo, 2, 3, 6 e 7 também têm a mesma medida.

Formando ângulo raso, temos 1 - 2, 3 - 4, 5 - 6, 7 - 8. Cada um desses pares forma um ângulo raso. Sabendo que 2, 3, 6 e 7 têm a mesma medida (ângulos obtusos) e que 1, 4, 5 e 8 têm a mesma medida (ângulos agudos), podemos observar na figura um ângulo agudo qualquer e um obtuso qualquer sendo sempre suplementares.

Nomeando as propriedades

Agora vamos nomear essas propriedades observadas. Para isso, é preciso entender um pouco a nomenclatura utilizada em geometria.

Dadas duas retas paralelas e uma transversal, os ângulos determinados pela transversal na região entre as paralelas são chamados de internos. Logo, os que não estão entre as paralelas são chamados de externos.
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Já os ângulos que estão do mesmo lado em relação à transversal, ou seja, do lado direito ou do lado esquerdo, são chamados colaterais. Os que estão em lados opostos são chamados alternos.
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Voltando, então, à figura inicial, temos, em resumo:
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AlternosInternos: 3 e 6, 4 e 5São congruentes
(mesma medida).
Externos: 1 e 8, 2 e 7
ColateraisInternos: 3 e 5, 4 e 6Formam ângulo raso
(medem juntos 180º).
Externos: 1 e 7, 2 e 8
Correspondentes1 e 5, 2 e 6, 3 e 7, 4 e 8São congruentes.
Opostos pelo vértice1 e 4, 5 e 8, 2 e 3, 6 e 7São congruentes.
*Michele Viana Debus de França é licenciada em matemática pela USP e mestre em educação matemática pela PUC-SP.

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