Tomando por base um hexágono, podemos deduzir as relações entre seus lados, bem como uma circunferência de raio unitário, na qual ele se encontra inscrito:
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| Figura 1 - Hexágono inscrito em uma circunferência de raio unitário. |
Note que o ângulo de 30
o é metade do ângulo interno de 60
o, que, ao ser multiplicado por 6, resulta em 360
o.
A metade do lado l/2, segundo a regra do seno de 30
o, vale:
Essa é uma característica importante do hexágono: ter o lado igual ao raio da circunferência em que está inscrito.
O perímetro do hexágono será 6.
Agora, vejamos o hexágono que circunscreve uma circunferência de raio unitário:
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Figura 2 - Hexágono que circunscreve uma circunferência de raio unitário.
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Usando-se a tangente do ângulo de 30
o:
E o perímetro será de
.
Nota: o valor dos lados poderia ser calculado utilizando-se o teorema de Pitágoras.
Contudo, o comprimento da circunferência estará entre os dois perímetros: o do hexágono inscrito e o do hexágono que circunscreve o círculo:
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Figura 3. Hexágonos - inscrito e circunscritivo - e circunferência de raio unitário.
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Logo, o valor do perímetro da circunferência
se encontra entre os valores:
E o valor de
:
Ora, se aumentamos o número de lados do polígono regular, o resultado será um valor de PI cada vez mais exato.
Arquimedes pensou nisso e conseguiu calcular o valor de PI para um polígono de 96 lados, chegando a um valor de:
Por exemplo, para um polígono de 384 lados:
Você conseguiria chegar à expressão do comprimento do lado de um polígono de 96 lados?
E de 384?
Note que os dois são polígonos com lados múltiplos de 6.
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