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Matemática

Progressão aritmética

Propriedades úteis na resolução de problemas

Michele Viana Debus de França*
Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação
As progressões aritméticas (PA) possuem algumas propriedades que são bastante úteis na resolução de problemas, principalmente alguns propostos nos vestibulares.

1ª propriedade: soma dos termos eqüidistantes.

Numa PA, os termos opostos, ou eqüidistantes, ou seja, os que estão à mesma distância do termo central da PA, têm a mesma soma.

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2ª propriedade: média aritmética.

Observe a PA infinita (3, 10, 17, 24, 31, 38, ...).
Se tomarmos três de seus termos:

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e fizermos , ou seja, se tirarmos a média aritmética dos termos "da ponta", obteremos

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,
que é o termo do meio.

E isso também acontece para quaisquer três termos consecutivos da PA.

No caso de uma PA com um número ímpar de termos, essa propriedade vale para termos opostos:

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Há também duas observações que não consideradas propriedades, mas facilitam a resolução de problemas.

1ª observação: PAs desconhecidas de 3, 4, ou 5 termos.

Sempre que um exercício se referir a uma PA desconhecida com 3, 4 ou 5 termos é útil utilizar:

3 termos - (x - r, x, x + r)

4 termos - (x - 3r, x - r, x + r, x + 3r)

5 termos - (x - 2r, x - r, x, x + r, x + 2r)

Assim, evita-se o uso de muitas incógnitas, pois o natural seria utilizar a, b, c, d, e para os termos desconhecidos.

2ª observação: decompor os termos em função do 1º termo e da razão.

Em problemas que se referem a termos aleatórios de uma PA, por exemplo, , é útil diminuir o número de incógnitas, decompondo esses termos por meio da fórmula do termo geral.

Assim, utiliza-se no lugar de no lugar de .

Exercícios resolvidos

1) Achar a razão da PA (x, 2x + 5, 32).

Nesse caso, utilizaremos a propriedade da média aritmética para resolver o problema.

Assim, sabemos que .

Resolvendo a equação, temos:

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Logo, a PA é .
E sua razão é .

2) Sabe-se que, numa PA, . Determine-a.

Utilizaremos a 2ª observação para resolver esse problema.

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Note que, ao invés de 4 incógnitas, temos agora apenas duas!

Assim,

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Temos o sistema:

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Subtraindo a segunda da primeira equação, obtemos:

-2r = -6
r = 3.

Substituindo r na primeira igualdade, acharemos a1:

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E a PA fica determinada: (4, 7, 10, 13, 16, ...).
*Michele Viana Debus de França é licenciada em matemática pela USP e mestre em educação matemática pela PUC-SP.
Os textos publicados antes de 1º de janeiro de 2009 não seguem o novo Acordo Ortográfico da Língua Portuguesa. A grafia vigente até então e a da reforma ortográfica serão aceitas até 2012

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