Numa progressão geométrica (PG) com um número finito de termos é possível calcular a soma desses termos, a exemplo do que ocorre com a progressão aritmética (PA).
Somar os termos da PG significa fazer
ou, ainda,
Para encontrarmos uma expressão para calcular essa soma, multiplicaremos por "q" os dois membros da igualdade acima:
E, subtraindo a 1ª igualdade da 2ª:
Eis a fórmula da soma dos termos de uma PG finita.
No caso de uma PG com razão igual a 1, como, por exemplo, (2, 2, 2, 2, 2), essa fórmula não funciona, pois o denominador seria zero.
Nesse caso, a soma é igual ao número de termos multiplicado pelo 1º termo:
PGs infinitas
Mas existe, ainda, outro caso: o das PGs infinitas.
Numa PG do tipo (2, 6, 18, 54, ...) não seria possível calcular exatamente a soma de termos que crescem infinitamente. Essa soma seria infinita.
Porém, em casos em que a PG é decrescente, ou seja, possui razão 0 <
q < 1, a soma é bastante intuitiva.
Considere, por exemplo, uma pessoa que possui uma barra de chocolate e não quer vê-la acabar tão cedo. Essa pessoa decide, então, que vai comer sempre a metade do pedaço que ela tiver.
Assim, no primeiro dia comerá a metade da barra inteira. No segundo dia, a metade da metade que sobrou do dia anterior. No terceiro dia, comerá a metade do pedaço do dia anterior, e assim por diante.
Esses pedaços consumidos formam uma PG infinita (considerando-se que a pessoa conseguiria dividi-la sempre) e decrescente:
.
Porém, a soma de todas essas quantidades seria igual à barra toda, ou seja, 1.
Logo, é possível determinar a soma desse tipo de PG infinita, por meio da expressão:
Exercícios resolvidos
1) Comprei um terreno e vou pagá-lo em 8 prestações crescentes, de modo que a primeira prestação é de 100 unidades monetárias - e cada uma das seguintes é o dobro da anterior. Qual o valor do terreno?
Como sabemos o total de prestações (8), vamos calcular o valor do terreno por meio da soma da PG finita, pois as prestações estão em PG de razão 2.
Logo, o valor do terreno é de 25500 unidades monetárias.
2) Dê a fração geratriz da dízima periódica 0, 8888...
Podemos escrever a dízima da seguinte forma:
0, 8888... = 0, 8 + 0, 08 + 0, 008 + 0, 0008 + ..., o que seria igual à soma da PG infinita
.
A fração geratriz é, então, o valor da soma dessa PG.
3) Resolver a equação
.
Mais uma vez, aplicaremos a fórmula da soma da PG infinita, pois o 1º membro da equação é uma PG infinita e decrescente.
Copyright UOL. Todos os direitos reservados. É permitida a reprodução apenas em trabalhos escolares, sem fins comerciais e desde que com o devido crédito ao UOL e aos autores.
ÍNDICE DE MATEMÁTICA
IMPRIMIR
ENVIAR
COMUNICAR ERRO
Fox 1.0 Pelo
Incrível: NotebookVárias marcas a partir de 
Roteador WirelessInternet sem fio a partir de
WebCamDiversos modelos