Vamos observar uma propriedade nos poliedros convexos a seguir:
CuboVértices: 8
Arestas: 12
Faces: 6
Somando o número de vértices com o número de faces, temos: 8 + 6 = 14. Observe o número de arestas. Guarde esses dois números!
OctaedroVértices: 6
Arestas: 12
Faces: 8
Fazendo a mesma conta com o octaedro: 6 + 8 = 14. Observe o número de arestas. Guarde esses dois números novamente!
Pirâmide quadrangularVértices: 5
Arestas: 8
Faces: 5
Na pirâmide, o mesmo: 5 + 5 = 10. E o número de arestas?
O que aconteceu em todos os casos?
O número de vértices, somado ao número de faces, é igual ao número de arestas mais 2!
Essa é a Relação de Euler para poliedros convexos:
Exercícios resolvidos usando a Relação de Euler
1) (FAAP - SP) Num poliedro convexo, o número de arestas excede o número de vértices em 6 unidades. Calcule o número de faces.
Resolução:
De acordo com o enunciado, temos:
A = V + 6
Usando a Relação de Euler e substituindo A de acordo com a igualdade acima:
V + F = 2 + A
V + F = 2 + V + 6
Eliminando V:
F = 8
O número de faces é igual a 8.
2) (Fatec - SP) Um poliedro convexo tem 3 faces com 4 lados, 2 faces com 3 lados e 4 faces com 5 lados. Qual é o número de vértices desse poliedro?
Resolução:
Do enunciado, sabemos que
Número de faces: 3 + 2 + 4 = 9
Número de arestas:
3 faces com 4 lados: 3 . 4 = 12
2 faces com 3 lados: 2 . 3 = 6
4 faces com 5 lados: 4 . 5 = 20
Somando: 12 + 6 + 20 = 38
Atenção: as faces são unidas, duas a duas, por uma aresta. Ao contarmos todas as arestas de todas as faces, cada aresta é contada duas vezes, uma para cada face "grudada" nela. Assim, esse número, na verdade, é o dobro do número real de arestas do poliedro. Logo:
A = 38 ÷ 2 = 19.
Usando, agora, a Relação de Euler, temos:
V + F = 2 + A
V + 9 = 2 + 19
V = 21 - 9 = 12.
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