As primeiras
equações aparecem no
antigo Egito, onde se tem o registro mais antigo de operações matemáticas. Os egípcios trabalhavam com equações simples, de uma variável apenas.
Suas equações não eram expressas por números e sinais. Eram escritas nos papiros na forma de problemas, sendo que o elemento desconhecido, a variável, tinha um nome especial:
aha. Veja um exemplo dessas equações:
Esse método de equacionar consistia em atribuir um valor qualquer para
aha. Por exemplo, 8. O 8, que era um "falso resultado", assumia a posição de
aha. Eram feitos, então, os cálculos com 8 no lugar de aha, e tinha-se um novo resultado para a equação:
mas 9 é um falso resultado.
Os egípcios, que gostavam muito de
razões, montavam, então, a razão entre o resultado correto - indicado na equação (10) - e o resultado falso (9).
Daí, concluía-se que o número correto para substituir
aha terá que formar com o número da falsa posição (8) uma razão igual a
.
Para saber que número é esse, basta então multiplicar:
é o resultado.
Os babilônios e os sistemas de duas equações
A civilização babilônica deu um passo à frente no campo das equações.
Eles já trabalhavam com sistemas de duas equações com duas variáveis que eram resolvidos por um método muito semelhante ao que é ensinado atualmente na escola. Da mesma forma que os egípcios, as equações babilônicas eram expressas na forma de problemas. Vamos a um deles:
Vamos traduzir o problema - e a solução que lhe deram os babilônios - para a linguagem algébrica atual:
Na linguagem algébrica o problema pode ser escrito através das equações, tomando-se pela variável
x a medida da largura e por
y a medida do comprimento. Assim, podemos escrever:
um quarto da largura mais o comprimento resulta 7 mãos:
(1) 
e o comprimento mais a largura resulta 10 mãos
(2) 
Para resolver esse sistema, os babilônios aplicaram técnicas correspondentes às aritméticas, de modo a encontrar equações equivalentes às dadas, mas que permitissem, ao final, anular uma das variáveis.
No problema em questão buscavam anular a variável y da seguinte forma:
multiplicando a equação (1) por 4
multiplicando a equação (2) por -1
Observando que os elementos correspondentes nas duas equações estão na mesma posição, isto é, o termo em x embaixo do termo em x, o termo em y embaixo do termo em y, e o termo independente embaixo do termo independente, podemos então somar membro a membro, termo a termo, as duas equações:
Resolvendo sistemas com duas equações, os matemáticos babilônicos desenvolveram dois princípios básicos da teoria das equações:
1) o princípio da posição: trata-se do princípio de que a posição que os termos ocupam nas equações é fundamental para a solução do sistema. Se esta posição é aquela em que os termos correspondentes ocupam posições iguais, então o sistema poderá ser facilmente resolvido.
2) o princípio da preparação das equações: trata-se do princípio de que as equações devem ser "preparadas" de modo que se possa aproveitar o princípio da posição. Isto é, trata-se de fazer as modificações necessárias nas equações de modo que os termos correspondentes fiquem na mesma posição.
Porém isso só não basta. É necessário também que fiquem preparadas de tal modo que uma das variáveis seja eliminada. Foi por isso que no exemplo dos babilônios multiplicou-se a primeira equação por 4 e a segunda por -1. Com a aplicação dessa técnica, foi possível somar termo a termo e obter-se a eliminação da variável x.
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