Circunferência é o lugar geométrico dos pontos que distam
r de um ponto
o dado, sendo r uma constante real positiva.
Elementos de uma circunferência:
O = centro
r = medida do raio
d = medida do diâmetro, d = 2r
= corda AB = x
2r
Note que:
a corda é um segmento que une dois pontos da circunferência;
o diâmetro é uma corda que passa pelo centro da circunferência;
o centro não pertence à circunferência.
Com um pedaço de giz, ou um lápis, um prego e um barbante, você pode desenhar algumas figuras geométricas. Fixe um prego (ponto C) em um pedaço de madeira, amarre um pedaço de barbante nele e a outra ponta em um lápis (ponto L). Pronto, com um movimento contínuo, temos:
Propriedades de segmentos internos e tangentes a circunferências:
1. No desenho, a reta r intercepta uma circunferência de centro O e raio r, passa por O, e é perpendicular à corda AB no ponto M, que é o ponto médio de AB. Isso é demonstrável facilmente, observando que o triângulo OAB é isóscele, e o segmento OM é altura, mediana e mediatriz relativas à base AB.
2. Dados três pontos A , B e C distintos e não alinhados, existe e é única a circunferência que passa por eles. Observe que o centro dessa circunferência é o circuncentro do triângulo ABC. O circuncentro de um triângulo é o ponto de intersecção das mediatrizes dos lados do triângulo.
3. Na figura, os pontos L, M e N pertencem à circunferência de centro A. Os pontos L, A, N são colineares e X é ponto médio de LM.
são raios da circunferência.
são cordas e 
.
a reta 
é perpendicular ao segmento 
4. Uma reta tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio traçado no ponto de tangência.
5. Por um ponto externo a uma circunferência é possível traçar duas retas que tangenciam a circunferência em pontos distintos, cujas distâncias ao ponto dado são iguais.
Ângulos na circunferência
Sempre é bom lembrar a definição: ângulo é a reunião de duas semi-retas de mesma origem, não contida numa mesma reta (não colineares). Além dos ângulos, medidos em graus, a circunferência também tem outra referência: o comprimento, dado em radianos.
Ângulo central
É todo ângulo cujo vértice coincide com o centro da circunferência
AÔB = ângulo central
= arco correspondente ou arco interceptado.
A medida em graus de um ângulo central será a medida de seu arco correspondente.
Ângulo inscrito
É todo ângulo cujo vértice pertence à circunferência e os lados são secantes a essa circunferência
PÂB = ângulo inscrito
= arco correspondente ou arco interceptado.
Teorema: a medida de um ângulo inscrito numa circunferência é a metade da medida do arco correspondente
Ângulo de segmento é todo ângulo cujo vértice pertence à circunferência, sendo um de seus lados secante e o outro tangente à circunferência.
CÂB = ângulo de segmento.
= arco correspondente, ou arco interceptado.
Teorema: a medida de um ângulo de segmento é a metade da medida do arco correspondente.
Ângulo de vértice interno
Teorema: a medida do ângulo de vértice interno 
é 
.
Ângulo de vértice externo
Teorema
: a medida do ângulo de vértice externo é 
Quadriláteros e cincunferências
Quadrilátero inscrito numa circunferência:
É o quadrilátero cujos vértices pertencem a uma mesma circunferência
Teorema do quadrilátero inscrito
: Um quadrilátero convexo está inscrito numa circunferência se e somente se os ângulos opostos são suplementares.
Quadrilátero circunscrito a uma circunferência:
É o quadrilátero convexo que tem os quatro lados tangentes a uma circunferência.
Teorema do quadrilátero circunscrito: Um quadrilátero está circunscrito a uma circunferência se e somente se a soma das medidas dos lados opostos é igual à soma das medidas dos outros dois lados.
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