Em matemática, conclusões como as que se obtêm a seguir são inadmissíveis. Por quê? Em que pecam os raciocínios utilizados? Vamos examiná-los...
1) Suponha que desejemos obter uma fórmula que dá o valor da soma S
n = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n - 1), para qualquer inteiro positivo de n.
É fácil ver que:
n = 1 
S1 = 1 = 12;
n = 2 S2 = 1 + 3 = 4 = 22;
n = 3 S3 = 1 + 3 + 5 = 9 = 32
n = 4 S4 = 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 42
Por meio de um raciocínio indutivo, os resultados obtidos nos levam a afirmar que para todo inteiro positivo n tem-se Sn = n2.
2) Consideremos o trinômio P(n) = n2 + n + 41. Considerando n = 0, obtemos P(0) = 41, que é um número primo. Substituindo n por 1, chegamos a outro número primo, o 43. Substituindo sucessivamente n por 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 10, conseguimos como resultados outros números primos (47, 53, 61, 71, 83, 97, 113, 131 e 151, respectivamente). Então, os resultados obtidos nos induzem a afirmar que, para todo n natural, o trinômio P(n) = n2 + n + 41, sempre produz como resultado um número primo.
Verdades e mentiras
Nos dois exemplos, propôs-se um resultado geral, supostamente válido para todo n, com base no fato de que ele é correto para alguns valores particulares de n: tal procedimento, entretanto, pode conduzir a conclusões falsas.
Assim, ainda que em no primeiro caso a proposição geral enunciada resulte correta - por mero acaso! -, a proposição geral do segundo exemplo é falsa. De fato, P(n) gera números primos para n= 0, 1, 2, 3, ..., 39, mas para n = 40, ele vale 412, que não é um número primo. Portanto, no exemplo 2), encontramos uma proposição que - apesar de válida em 40 casos particulares - não é válida em geral.
Note bem: Uma proposição pode ser válida em uma série de casos particulares, mas, mesmo assim, não o ser de maneira geral.
Coloca-se, então, o seguinte problema: temos uma proposição que se mostrou correta em muitos casos particulares. No entanto, é impossível verificar todos os casos particulares. Assim sendo, como podemos saber se a proposição é correta de modo geral?
Princípio de indução finita
Quando uma proposição é enunciada em termos de números naturais, o Princípio de indução finita constitui um eficiente instrumento para demonstrar a proposição no caso geral.
Na prática, o método pode ser entendido por um artifício muito simples. Vamos supor que temos uma série de soldadinhos de chumbo colocados em fila, que começa por um deles e prossegue indefinidamente:
Nosso objetivo é - empurrando apenas um soldadinho - garantir que todos caiam. Como derrubar todos os soldados?
Para isso, basta nos assegurarmos de que: 1) O primeiro soldado cai; 2) Os soldados estão dispostos de tal modo que qualquer um deles - toda vez que cai -, automaticamente, empurra o soldado seguinte e o faz cair também.
Assim, mesmo que a fila se estenda indefinidamente, podemos afirmar que todas os soldadinhos cairão.
O sucesso desse método depende da demonstração de dois teoremas:
Teorema 1: A proposição é válida para n = 1.
Teorema 2: Se a proposição é válida para n = k, então ela também é válida para o caso seguinte, n = k + 1.
Se ambos os teoremas forem demonstrados, podemos afirmar que a proposição é válida para todo inteiro positivo n.
Exemplos
1) Vamos provar que se Sn = 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1), então, Sn = n2
Teorema 1: a fórmula vale para n = 1.
De fato, S1 = 12 = 1.
Teorema 2:
Hipótese: Sk = 1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) = k2
Tese: somando aos dois membros da hipótese o número 2k + 1, obtemos
1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2k + 1) = k2 + (2k + 1), ou seja:
1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2k + 1) = (k + 1) 2, o que prova a tese!
Obs.: Em alguns problemas a proposição dada é válida a partir de um certo número natural kn. Nesse caso, o Teorema 1 é verificado para n = kn.
2) É comum que se cobrem demonstrações em vestibulares. Nessas ocasiões, pode-se tentar a saída pelo princípio de indução finita:
(Fuvest) Prove que, para todo número n 
1, o número an = 
é inteiro e ímpar.
Teorema 1
A afirmação é verdadeira para n = 1
A1 = 
= 1, que é ímpar.
Teorema 2
Por hipótese, an = é ímpar.
an+1 = 
=
= 
= 
an+1 = 
= 4. an + 1, que é ímpar também.
Logo, está provada a tese.
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