Matemática

Translação de funções reais

Efeito nos gráficos

Maria Ângela de Camargo*
Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação

Dado o gráfico de uma função f(x), definida por sua respectiva expressão ou lei de formação, que alterações se operam no gráfico ao introduzirmos constantes aditivas e/ou multiplicativas à expressão de f(x)?

Em outras palavras, conhecendo o gráfico de f(x), será possível prever como será o gráfico da expressão g(x) = a.f(k.x+b) + c?

Translações unidirecionais

Sabemos que toda função do tipo f(x) = ax¹ + b é uma função polinomial de primeiro grau, ou simplesmente função afim. Sabemos, também, que os gráficos de tais funções são retas. Observemos os gráficos de algumas funções desse tipo, com a > 0:

f(x) = ax + b

a > 0, b < 0

a > 0, b = 0

a > 0, b > 0

Perceba o padrão: os sinais de b têm relação com a ordenada do ponto (0;b). O mesmo acontece com as retas cujos valores a são negativos. Em geral, observamos esse efeito de translação em qualquer função de variável real.

Seja f(x) a função cujo gráfico é

Dom f(x) = [x₁; x₂] Im f(x) = [y_min; y_max]

Partindo desse gráfico, é possível obter os gráficos de y = f (x) + m e de y = f (x) - m, por meio de uma translação vertical de m unidades:

y = g(x) = f(x) + m

Dom g(x) = [x₁; x₂]
Im g(x) = [y_min + m; y_max + m]

y = g(x) = f(x) - m

Dom g(x) = [x₁; x₂]
Im g(x) = [y_min - m; y_max - m]

A translação acontece para cima ou para baixo, dependendo do sinal de f(x) + m.

Do mesmo modo, gráficos de funções definidas por y = f (x + m) e por y = f (x - m) podem ser obtidos do gráfico da função f(x) por meio de uma translação horizontal de m unidades:

y = g(x) = f(x + m)

Dom g(x) = [x₁ - m; x₂ - m]
Im f(x) = [y_min; y_max]

y = g(x) = f(x - m)

Dom g(x) = [x1 + m; x2 + m]
Im f(x) = [y_min; y_max]

A translação acontece para a direita ou para a esquerda, dependendo do sinal de f(x + m

Translações bidirecionais

Em geral, o gráfico de qualquer função g(x) = f(x + m) + n ({m,n}

R) pode ser obtido do gráfico da função f(x) pela combinação de uma translação horizontal e outra vertical. Veja como ficam os gráficos de g(x) = (x+m)² + n:

m = 2, n = - 1

m = 2, n = 1

m = -2, n = -1

m = -2, n = 1

Em relação à função f(x) = x², para x real, há alterações nas imagens e valores de extremos; se não houver restrições para os valores de x na nova expressão, ainda teremos dom g(x) = R.

*Maria Ângela de Camargo é professora de matemática do Colégio Ítaca.

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