A geometria analítica em duas dimensões usa a álgebra para descrever figuras planas e suas propriedades. O principal recurso dessa geometria é o
plano cartesiano, determinado por duas retas reais perpendiculares, horizontal e vertical.
No plano cartesiano, cada ponto está univocamente associado a um par ordenado, onde o primeiro e segundo elemento denotam respectivamente a abscissa (ou projeção do ponto no eixo horizontal) e a ordenada (ou projeção do ponto no eixo vertical).
Coordenadeas
Assim, os elementos do par ordenado constituem as
coordenadas do ponto no plano cartesiano e o par de eixos tem o nome de
eixos coordenados.
Pontos sobre o eixo horizontal apresentam ordenada nula. Reciprocamente, pontos sobre o eixo vertical apresentam abscissa nula.
Um conjunto de pontos que obedece a um certo quesito tem o nome de lugar geométrico. Em geometria analítica, quesitos que definem figuras planas bidimensionais são descritos por sentenças a duas variáveis, x e y.
Exemplo: a sentença que explicita a propriedade comum a todos os pontos do eixo Ox das abscissas é y = 0, pois todos os pontos pertencentes a esse eixo apresentam y = 0. Dizemos então que a equação do eixo Ox é y = 0. Do mesmo modo, a equação do eixo Oy é x = 0.
Assim, chamamos de
equação de uma curva à sentença matemática que explicita a propriedade comum a todos os seus pontos e essa sentença relata, normalmente, a relação entre as variáveis x e y que são as coordenadas dos pontos da curva.
Exemplos:
a) A sentença ax + by + c = 0 define uma reta, para determinados a, b, c.
b) A sentença (x - x
0)
2 + (y - y
0)
2 = R
2 define uma circunferência, que é o conjunto dos pontos do plano xy que distam R do ponto (x
0,y
0).
As decorrências importantes das associações entre as sentenças matemáticas e as figuras geométricas são as seguintes:
Se um ponto pertence a uma curva, então as coordenadas do ponto satisfazem à equação da curva.
Se um ponto pertence a várias curvas simultaneamente, as suas coordenadas devem satisfazer a todas as equações das ditas curvas.
Quadrantes
Pontos que não pertencem a nenhum dos eixos coordenados pertencem a um dos quadrantes do plano cartesiano:
Observe que pontos pertencentes ao mesmo quadrante devem obedecer aos mesmos quesitos:
P 
1° quadrante 
xp > 0 e yp > 0
P 2° quadrante xp < 0 e yp > 0
P 3° quadrante xp < 0 e yp < 0
P 4° quadrante xp > 0 e yp < 0
Veja que aqui fizemos a definição de lugares geométricos por meio de desigualdades. Cada reta define dois semiplanos e cada quadrante foi definido pela região comum a dois semiplanos.
Observe como se definem as regiões usando outras figuras além dos planos coordenados:
 |
(r ) x - y + 1 = 0 |
A reta r define dois semiplanos opostos, dos quais r é a fronteira. Na figura, a região hachurada corresponde aos pontos em que x - y + 1 
0.
 |
(r ) y = x + 1 |
A circunferência (C) (x-1)2 + (y+1) 2 = 9 tem centro (1,-1) e raio 3; pontos do plano cartesiano cuja distância ao ponto (1;-1) é maior que 3 são externos a C.
 |
(s) y = -6x + 60 |
Aqui, a região duplamente hachurada representa os pontos que satisfazem simultaneamente às restrições:
y 
2x -1 (semiplano dos pontos acima da reta r)
e
x2 + (y+1) 2 4 (pontos internos ou pertencentes à circunferência.)
Agora, uma região triangular, para você caracterizar:
As retas r, s e t, concorrentes duas a duas, determinam uma região triangular:
 |
(t) y = -x + 10 |
a) Quais são os quesitos ( = desigualdades!) que definem essa região?
b) O ponto A (5,10) pertence ou não pertence a essa região?
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