É costume que se chame o número
= 1,618... =
de
número de ouro ou
razão áurea, por representar o
proporção áurea, ou a
divina proporçãoConsidere um retângulo de dimensão a e b, sendo a > b e tais que,
subtraindo-se um quadrado do seu comprimento, reste um retângulo semelhante ao primeiro, conforme se vê abaixo:
Este é o chamado
retângulo áureo, figura de grande apelo estético e forma das mais utilizadas na
arquitetura clássica e moderna (o Partenon, em Atenas, por exemplo, tem as dimensões frontais do retângulo áureo).
Da semelhança entre os dois retângulos, decorre a
equação:
.
Exprimindo b em função de a, chegamos a:
.
O segmento b é denominado
segmento áureo de a. Em outras palavras: se um segmento tem comprimento a, o seu áureo tem comprimento
.
Observando a base do retângulo maior:
Dizer que b = AD é o segmento áureo de a = AB equivale a dizer que C é um ponto do segmento AB tal que
.
Também é comum dizer que o ponto D divide o segmento AB em
média e extrema razão.
Se a = 1, b =
Se b = 1, a =
Compare os dois últimos resultados: 1/
+ 1 =
.
Propriedades da proporção áurea
Esse número tem várias outras propriedades interessantíssimas:
a)
Somar duas
potências inteiras consecutivas de
resulta na próxima potência de
:
b) O mesmo acontece com potências de expoente inteiro negativo:
c) Por fim, a soma de todas as potências inteiras negativas de
produz o próprio
:
d) Para gerar
em uma calculadora simples, siga os passos:
insira 1
inverta o resultado , e some 1
inverta o resultado, e some 1
Continue o processo e o resultado convergirá para !
Essa é para você pensar: qual é a seqüência de passos dessa expressão que, surpreendentemente, também converge para ?
A divina proporção na arte e nas ciências
Na natureza, a razão áurea parece orientar a posição das pétalas e sementes nas margaridas e girassóis, e a curvatura da concha do Náutilus. A divina proporção também foi encontrada na seqüência de Fibonacci.
Nas artes, retângulos áureos serviram de moldura para inúmeras obras, para artistas como Leonardo da Vinci e Albrecht Dührer. Para além da harmonia, a razão áurea era um ideal de perfeição.
Segundo o modelo do homem perfeito, impresso no Homem Vitruviano, de Da Vinci, as dimensões obedecem a divina proporção; o umbigo divide a altura do corpo humano em dois segmentos que estão na razão áurea.
O ombro divide a distância entre as extremidades dos dedos (braços abertos
perpendicularmente ao corpo) em dois segmentos que estão na mesma razão áurea.
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O Homem Vitruviano, de Da Vinci |
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