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D é o dividendo, o número que se deseja dividir
d é o divisor, ou o número pelo qual se deseja dividir D;
Q é o quociente, ou o resultado inteiro da divisão de D por d
r é o resto, ou a diferença entre D e dQ; nesse caso, r < d
O mesmo conjunto de números envolvidos pelo algoritmo pode ser escrito da seguinte maneira:
D = d.Q + r
Estendendo o resultado para números inteiros, temos o seguinte teorema:
Se D e d forem quaisquer números inteiros e d for diferente de zero, então há um único conjunto de números Q e r de modo que
D = d Q + r,
com 0 
r < | d |.
Por exemplo: se D = 26 e d = 3, então Q = 8 e r = 2, porque 26 = 3 . 8 + 2
Dizemos que D é divisível por d se D = d.Q. Isso é o mesmo que dizer que:
d é um divisor de D e que D é um múltiplo de d.
Por que não se pode dividir por zero?
Imagine que d = 0 é um divisor de D 
0. De acordo com o que vimos, deve haver um único conjunto de números Q e r tal que D = 0.Q + r. seja verdadeiro. Mas D = 0 . (Q + 1)+ r também é verdadeiro, assim como D = 0. (Q + 2) + r também o é. Logo, d não pode ser zero.
Decorre também desse fato que zero é múltiplo de qualquer inteiro não nulo, mas não é divisor de nenhum inteiro. Veja por que:
 |
Então, D = 0.Q , mesmo que D ≠ 0, o que é impossível.
Propriedades decorrentes do teorema
Se a e b são inteiros divisíveis por n, então:
Daqui para a frente, denotaremos um número N de n algarismos na notação posicional, isto é, na forma ak...a3, a2, a1 a0, onde a0 é o algarismo das unidades, a1 é o algarismo das dezenas, a2 é o algarismo das centenas, etc. Decompondo N:
| ak |
... |
a3 |
a2 |
a1 |
a0 |
| 10k |
milhar |
centena |
dezena |
unidade |
N = 10k.ak +...+ 103.a3 + 102 . a2 + 10 . a1 + 100 . a0
Um número N múltiplo de n será representado por kn, k 
Z
Um número natural tem infinitos múltiplos. Por exemplo: os múltiplos de 6 são 0, 6, 12, 18,... Denota-se o conjunto dos múltiplos de n como M(n)
Um número natural tem pelo menos um divisor. Por exemplo: os divisores de 6 são 1, 2, 3, 6. Denota-se o conjunto dos divisores de n como D(n)
Um número natural n 1 que tem dois divisores (1 e o próprio número ) é chamado de primo. Caso contrário será composto. O número 1 não é primo nem composto.
Dados dois naturais m e n não nulos, definem-se:
Denota-se mdc (m , n)
Ex: D(12) = { 1,2,3,4,6,12}; D(18) = {1,2,3,6,9,18}.
Daí, mdc (12,18) = 6
múltiplo de m e n. Denota-se MMC(m , n)
Ex: M(5) = {0,5,10,15,20,25, ...}; M(4) = {0,4,8,12,20,24,...}.
Daí, MMC(4 , 5) = 20
Números primos entre si p e q são naturais não nulos tais que mdc (p , q) = 1 e mmc(p , q ) = pq
Os critérios de divisibilidade e demonstrações
Para efeito de fatorações, pode ser interessante saber se um número é múltiplo de algum número primo. Vejamos aqui alguns critérios de divisibilidade de um número inteiro N por...
2 
o algarismo das unidades de N deve ser par; Algarismos pares são 0, 2, 4, 6, 8,
A paridade é um atributo dos números inteiros:
Números pares são representados por 2k, k
Z
Números ímpares são representados por 2k + 1, k
Z
Assim, números inteiros são pares ou ímpares.
3 a soma dos algarismos de N deve formar um número múltiplo de 3:
Se ak.+ a3+ a2 + a1 + a0 for divisível por 3, então ak... a3, a2, a1, a0 também serão.
Demonstração: partimos da hipótese de que ak.+ .a3+ a2 + a1 + a0 = 3k. Então,
N = 10K.ak + ... + 103.a3 + 102 . a2+ 10 . a1 + .a0 = ak.+ ..a3+ a2 + a1 + a0+(10n -1) ak + 999.a3 +99 a2 + 9a1= 3k + múltiplos de 3
Logo, N é múltiplo de 3 N é divisível por 3
4 os algarismos da unidade e da dezena devem formar um número múltiplo de 4:
Se a1, a0 forem divisíveis por 4, então ak... a3, a2, a1, a0 também serão.
Demonstração: partimos da hipótese de que 10 . a1 + a0 = 4k. Então,
N = 10k. ak+ ... + 103. a3 + 102 . a2 + 10 . a1 + a0
= 100(10k - 2. ak + ... + 101. a3 + a2) + 4k
Como 100 é múltiplo de 4 e 4k também o é, concluímos que N é múltiplo de 4 N é divisível por 4
De modo análogo, demonstra-se o critério de divisibilidade por 8
5 o algarismo da unidade deve ser 0 ou 5.
Se a0 = 0 ou 5, então ak... a3, a2, a1, a0 = 5k
Demonstração:
a) se a0 = 0,
N = 10k.ak + ... + 103. a3 + 102 . a2 + 10 . a1
= 10(10k - 1.ak + ... + 102. a3 + 101 . a2 + a1) = 10k = 2.5.k
Logo, N é múltiplo de 5 N é divisível por 5
o algarismo da unidade deve ser 0 ou 5
Se a0 = 0 ou 5, então ak... a3, a2, a1, a0 = 5k
Demonstração:
a) se a0 = 0,
N = 10k.ak + ... + 103. a3 + 102 . a2 + 10 . a1
= 10(10k - 1.ak + ... + 102. a3 + 101 . a2 + a1) = 10k = 2.5.k
Logo, N é múltiplo de 5 N é divisível por 5
6 se N é divisível por 2 e por 3, então N é divisível por 6
Demonstração: Se N é múltiplo de 2, então N = 2p, p inteiro
Se N é múltiplo de 3, então N = 3q, q inteiro
Sendo 2 e 3 primos entre si, é possível escrever N como 2.3.k, k = mdc (p;q)
7 É um critério trabalhoso, mas é assim: um número é divisível por 7 quando a diferença entre o dobro do último algarismo e o número que não contém este último algarismo proporcionar um número divisível por 7. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 7.
Vejamos a demonstração, para um número de 2 algarismos du
N = 10d + u (1)
| Tomamos o dobro do algarismo das unidades | 2u |
| Realizamos a diferença entre 2u e d | 2u – d |
| Por hipótese, esse número é múltiplo de 7 | 2u – d = 7k , k inteiro |
| então, d = 2u – 7k (2) |
Usando a relação (2) em (1), obtemos N = 10(2u - 7k) + u = 21u - 70k, que é uma diferença entre dois múltiplos de 7. Logo, N é múltiplo de 7 N é divisível por 7
Um exemplo: vamos verificar se 3726 é divisível por 7. De acordo com o algoritmo:
6x2 = 12
372 - 12 = 360
como 360 não é divisível por 7, então 3726 também não é.
9 a soma dos algarismos de N deve formar um número múltiplo de 9
Se ak+ .a3 + a2 + a1 + a0 for divisível por 9, então então ak... a3, a2, a1, a0 também serão.
Demonstração: partimos da hipótese de que ak+ .a3 + a2 + a1 + a0 = 9k. Então,
N = 10k.ak+ ... + 103.a3 + 102 . a2 + 10 . a1 + .a0
= ak.+ .. a3 + a2 + a1 + a0 +(10n - 1) ak.+ .999. a3 +99 a2 + 9a1= 9k + múltiplos de 9
Logo, N é múltiplo de 9 N é divisível por 9
11 Um número é divisível por 11 quando a soma dos algarismos de ordem par Sp menos a soma dos algarismos de ordem ímpar Si for um número divisível por 11.
Exemplo: testemos o número 1234567890
Soma dos algarismos de ordem par : 0 + 8 + 6 + 4 + 2 = 20
Soma dos algarismos de ordem ímpar: 9 + 7 + 5 + 3 + 1 = 25
Diferença = 5, que não é divisível por 11. Logo, 1234567890 também não é.
13 Um número é divisível por 13 quando o quádruplo (4 vezes) do último algarismo, somado ao número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 13. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 13.
Exemplo: testemos o número 1001.
4 x 1 = 4
100 + 4 = 104 (?)
repetindo:
4 x 4 = 16
10 + 16 = 26 = 2x13 (!)
Concluímos que 1001 é divisível por 13.
O número 1001 é curioso. A sua fatoração em primos é 1001 = 71113. Esta igualdade proporciona um critério de divisibilidade por 7 por 11 e por 13, por redução, que é o seguinte:
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Um
número N = ab......cdefg é divisível por 7, por 11
ou por 13 se e somente se a diferença entre o número N'
= ab......cd e o número M = efg é divisível, respectivamente
por 7, por 11 ou por 13.
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Por exemplo, dado o número 241227, a diferença 241 - 227 = 14 é múltiplo de 7. Logo 241227 é múltiplo de 7.
Para provar o critério, basta fazer N = 1000ab......cd + efg, que também pode ser
escrito como N = 1001ab.....cd - (ab.....cd - efg)
Outro método, que serve como critério de divisibilidade para o 7, 11 e 13, simultaneamente, funciona da seguinte forma:
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Dado
um número ABCDEFG (A, B, C, ..., são os dígitos do
número), agrupam-se os dígitos 3 a 3, começando da
direita e somando e subtraindo sucessivamente; chega-se a um valor. Se
o valor encontrado for divisível por 7 ou por 11 ou por 13 o número
ABCDEFG também será. |
Exemplo: 89691784
784 - 691 + 89 = 182
182 : 7 = 26, logo 89691784 é divisível por 7.
182 não é divisivel por 11, logo 89691784 também não é.
182 : 13 = 14, logo 89691784 é divisível por 13.
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