Desde a época de Euclides (séc. 3 a.C.), sabemos que as operações aritméticas tinham uma conotação geométrica. Operar dois números reais a e b era equivalente a obter elementos geométricos resultante da composição de dois segmentos de medidas a e b:
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Soma |
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Subtração |
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Produto |
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Quociente, uma aplicação do teorema de Tales |
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Média aritmética entre dois números (mediatriz de um segmento) |
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Produto notável: quadrado da soma |
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Produto notável: diferença entre quadrados |
Muito antes disso, na época de Pitágoras (séc. 6 a.C.), já se sabia da existência de grandezas incomensuráveis (ou, como dizemos hoje, dos números irracionais), isto é, que não podiam ser representados pelo quociente da divisão entre dois números racionais. É provável que as primeiras grandezas incomensuráveis conhecidas tenham sido o lado e a diagonal do quadrado e do pentágono.
Se a representação de
já apresentava dificuldades conceituais, uma vez que não há racionais m e n tais que m/n =
, como seriam representados os números
, ou
, ou ainda
?
Essa questão é conhecida como a crise dos incomensuráveis, e veio a ser resolvida por dois discípulos de Platão, Eudoxo de Cnido e Teeteto de Atenas (todos do séc 5 a.C), que apresentaram um novo método de proporções e que veio a se tornar o Método da Exaustão. Isso permitiu demonstrar teoremas com bom nível de rigor para a época.
Racionalizar
A questão da divisão por um número irracional se resolve, algebricamente, pela técnica da racionalização dos denominadores. Sendo a, b e x números racionais,
Observe que, geometricamente, podemos representar
:
A racionalização facilita a representação geométrica, mas o segmento obtido não deixa de ser irracional.
Como curiosidade, observe a interpretação geométrica para a média geométrica entre dois números reais a e b
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Média geométrica (uma relação métrica no triângulo retângulo) |
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