.Veja como aplicar um método iterativo (não confunda com interativo; esse adjetivo se refere a algo repetitivo e auto-alimentado) que calcula de maneira bem simples a raiz cúbica de um número positivo C, com boa aproximação. Acompanhe:
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Dada a equação X3 - C = 0, é possível calcular a raiz cúbica aproximada de C usando a seguinte expressão:
Esse é um processo iterativo baseado numa prática de cálculo numérico chamado método de Newton. |
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Quem são esses xi e xi+1 que aparecem nessa expressão?
Bem, se você tiver xi , pode calcular xi+1 através da própria expressão |
Mas o que representa o xi, afinal? Representa os números que se candidatam a soluções da equação e que vão sendo obtidos por iterações - ou seja, aplicações sucessivas da expressão
.
Você pode começar com um valor qualquer; por exemplo, 1; que chamaremos de x0. Coloque-o no lugar de xi e calcule xi+1 pela expressão dada. Substitua esse x1 novamente na expressão e calcule x2. Volte com x2 novamente na mesma expressão e calcule x3. Depois de algumas iterações ou ciclos da mesma expressão, você verá que os xi+1 estarão variando muito pouco. Então, você estará chegando muito perto de 
.
Talvez você esteja se perguntando: Mas então x0 pode assumir qualquer valor, isto é, eu posso chutar qualquer valor inicial?
Sim, pode. x0 pode assumir qualquer valor positivo, pois a expressão acaba convergindo para o valor desejado - se bem que, quanto mais perto x0 estiver do valor, por assim dizer, verdadeiro de , tanto mais rapidamente a expressão convergirá para um bom valor aproximado de .
Talvez isso lhe pareça misterioso e, na verdade, não deixa de ser mesmo, mas o melhor aqui é ver o método em funcionamento.
Use a sua calculadora e teste a seguinte iteração:
Isso é o mesmo que 
. Façamos, por exemplo, x0 = 1:
Tente reproduzir esses resultados na sua própria máquina. Mas observe:
terá sido alcançado quando não houver mais modificações na segunda casa decimal (no entanto, você pode considerar que a meta foi atingida quando não houver mais variação na segunda, terceira ou qualquer outra casa; aqui, estamos levando o cálculo até a segunda casa decimal para observar o comportamento dos xi)
Como você viu, chegamos a um resultado aceitável em cinco ciclos ou iterações. O que você espera que aconteça se atribuímos x0 = 0 para o valor de saída?
Podemos criar uma rotina para a calculadora, caracterizada por uma seqüência de comandos que permite calcular xi+1 a partir de xi. A seqüência deverá lhe permitir fazer o cálculo diretamente, sem anotar resultados parciais no papel.
Uma sugestão é a seguinte seqüência, planejada para uma máquina bem simples (como a calculadora do Windows modo standard, por exemplo):
Calcule pelo método das aproximações sucessivas com o algoritmo desenvolvido. Comece com C = 17 e x0 = 1. Faça 5 iterações (isto é, faça i variar de 1 a 5) e dê o valor de com 3 casas decimais.
* Maria Ângela Camargo é professora de matemática do Colégio Ítaca.
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