Matemática

Geometria euclidiana

História e os axiomas

Maria Ângela de Camargo*
Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação

Observe uma proposição desse tipo:

"Duas retas não podem se interceptar em mais de um ponto."

Trata-se de uma proposição evidente por si mesma. Algumas proposições, contudo, podem não ser tão evidentes assim. Por outro lado, há outros fatos anteriores a essa proposição - sobre os quais elas se assentam - que o são. Na verdade, o nosso conhecimento está organizado de maneira ordenada, de tal modo que as proposições mais complexas possam ser deduzidas - ou demonstradas - a partir das mais simples.

Euclides e "Os Elementos"

Essa organização é que divide as proposições em postulados (proposições fundamentais, que não precisam de demonstração) e teoremas. Estes podem ser demonstráveis ou indemonstráveis. De qualquer modo, são inicialmente chamados de cadeias dedutivas (onde os fatos se encadeiam) e estão presentes na maior obra de referência da matemática: "Os Elementos", do grego Euclides.

Esse grande trabalho foi composto em aproximadamente 300 a.C., mas sofreu alterações, com erros e variações inevitáveis, por ter sido copiado e recopiado repetidas vezes ao longo dos séculos.

Uma boa edição do conteúdo original da obra chegou até os nossos dias através de meia dúzia de cópias manuscritas gregas, datando principalmente dos séculos 10 e 12 d.C. Cópias de "Os Elementos" nos chegaram também por meio de traduções árabes, mais tarde vertidas para o latim, durante o século 12. O livro foi impresso pela primeira vez em Veneza, no final do século 15 (apenas 50 anos depois da invenção de Gutenberg). Desde então calcula-se que pelo menos 1.000 edições foram publicadas, em muitos idiomas.

Certamente nenhuma obra matemática teve influência comparável a essa. "Os Elementos" estão divididos em 13 livros ou capítulos que falam sobre geometria, aritmética e álgebra geométrica. Euclides reuniu, nesse trabalho, toda a geometria desenvolvida até então no mundo antigo, tanto pelos discursos filosóficos gregos, quanto pelo empirismo egípcio, e organizou esse conhecimento em estruturas axiomáticas: um série de proposições de maior ou menor complexidade que dependem de outras mais simples.

Bíblia da geometria

Hoje, seu texto pode até ser considerado ingênuo, mas contava com todos os recursos do rigor e da linguagem disponíveis em sua época, e é um dos mais notáveis já escritos. Tornou-se uma espécie de Bíblia da geometria até o século 19, quando o rigor de suas provas passou a ser contestado.

O método utilizado por Euclides baseou-se na utilização de cadeias dedutivas, que obtém novos elementos a partir de outros anteriores. Entretanto, uma vez que não se pode retroceder indefinidamente em busca de elementos anteriores, há um momento em que se devem estabelecer os que serão os princípios fundamentais da teoria. Para Euclides, esses princípios têm o nome de postulados e noções comuns (ou axiomas).

Postulados:

1. Entre dois pontos distintos, existe e é única a reta que passa por eles

2. Prolongar um segmento indefinidamente até uma reta.

3. Descrever um círculo com qualquer centro e qualquer raio.

4. Todos os ângulos retos são iguais entre si.

5. Se uma reta que cruza duas outras, isso é feito segundo ângulos internos do mesmo lado menores do que dois ângulos retos, então as duas retas prolongadas indefinidamente se cruzarão do lado em que estão os ângulos menores do que dois ângulos retos.

Esse é o postulado das paralelas, e também se enuncia assim:

Por um ponto fora de uma reta existe uma única paralela à reta dada.

* Maria Ângela de Camargo é professora de matemática do Colégio Ítaca.

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