Com o auxílio da geometria analítica, o matemático Carl Friedrich Gauss (1777-1855) deu aos
números complexos a interpretação geométrica de pares ordenados (
a; b) num sistema ortogonal, associando univocamente cada par ordenado a um ponto nesse plano, e vice-versa.
Para essa representação, também podiam ser utilizadas outras coordenadas, por assim dizer: a distância
do ponto à origem do sistema de coordenadas, e o ângulo
entre o segmento
e a reta horizontal.
As relações entre as coordenadas são as seguintes:
a =
. cos
= a
2 + b
2b =
. sen
= arc tg (b/a) ou
= arc sen (b/
) ou ainda
= arc cos(a/
)
O mais interessante que Gauss conseguiu com essa representação foi dar uma interpretação visível para a soma e o produto entre esses números. Isso é importante, pois os complexos carecem da relação de ordem que reina entre os reais:
Dados a e b reais, temos necessariamente a = b ou a < b ou a > b, e esses fatos podem ser representados na reta real.
Para x e y complexos, só vamos até a = b ou a
b.
SOMA - é como somar vetores usando a regra do paralelogramo.
PRODUTO - lembrando da propriedade associativa,
(a + bi) . (c + di) = c (a + bi) + di (a + bi),
pode-se consolidar o produto em duas etapas:
a) multiplicar o complexo a + bi pelo real c; isso equivale a multiplicar seu módulo e não alterar a sua orientação:
b) multiplicar o complexo a + bi pelo real d e depois promover uma rotação de 90
o no sentido anti-horário:
c) somar os dois vetores obtidos em a) e b):
Pelas mãos de Gauss, ainda se tem a prova de que os complexos são o melhor conjunto para se encontrar soluções de equações algébricas, por meio de sua tese de doutoramento, o
Teorema Fundamental da Álgebra:
"Toda equação polinomial de coeficientes reais tem pelo menos uma raiz complexa."
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