Em 1545, na Itália, pesquisavam-se as soluções de equações algébricas. Um folheto de problemas proposto pelo matemático Girolamo Cardano exibia o seguinte problema:
"Dividir o número 10 em duas parcelas cujo produto seja 40".
Para Cardano, "o problema é manifestamente impossível, mas, mesmo assim, vamos operar": ele mostrou que os números 5 +
e 5 -
funcionariam como soluções do problema.
Contudo, ele não encontrou explicação para esses resultados. Somente supunha que esses números - uma vez obedecendo às regras da álgebra válidas para números reais - satisfaziam as condições impostas:
a soma dos dois números é 10;
produto dos dois números é 40.
Algo mais inquietante ocorria na resolução da equação x3 - 15x - 4 = 0. Cardano conhecia a solução x = 4, mas a aplicação de uma regra prática levava a .
Porém, como se chega a = 4?
A resposta foi dada em 1572, por Rafael Bombelli, a quem ocorreu que talvez cada uma das parcelas (expressas como raízes cúbicas) fossem algo do tipo a + 
e a - .
Supondo, novamente, que se pudessem operar tais entidades segundo as mesmas regras da álgebra dos números reais, ele chegou à forma:
= 2 + 
= 2 -
e, finalmente,
= 2 + + 2 - = 4.
O próprio Bombelli duvidou da validade desses resultados: "Foi uma idéia louca, julgaram muitos e também eu fui dessa opinião. Tudo parecia ser mais um sofisma que uma verdade."
De fato, os nomes atribuídos a esses novos números refletem bem o desconforto que causaram, na falta de coisa melhor: números "sofísticos", "sem significado", "impossíveis", "fictícios", "místicos", "imaginários".
Leonhard Euler
Mesmo assim, eles vieram resolver a insuficiência dos números reais para a solução das equações algébricas, resolvendo o problema das raízes desses números.
Entretanto, ainda faltava formalizarem-se as operações, propriedades e elementos especiais dos números complexos. Isso aconteceu mais de dois séculos depois com Leonhard Euler (1707-1783).
Euler começou por melhorar a simbologia dos números complexos, substituindo a notação por i, sendo i um ente tal que i2 = -1, chamado base dos números imaginários: a partir daí, o número a + b passava a ser representado na sua forma algébrica, a + bi, possibilitando operações como se fossem polinômios.
a + bi 
(c + di) = a c + (b d)i
(a + bi) . (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i
Para quaisquer x, y, z complexos, também se provaram as propriedades: i2
associativa da adição (x + y) + z = x + (y + z)
associativa do produto (x . y) . z = x . (y . z)
comutativa da adição x + y = y + x
comutativa da multiplicação x . y = y . x
existência de um elemento neutro para a adição 
outro neutro para o produto
existência, para cada número, de elemento oposto 
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